§ 16.7. Гармонический осциллятор.
В этом случае
и уравнение Гамильтона в частных производных имеет вид
Легко проверить, что найденная ранее главная функция
удовлетворяет уравнению (16.7.2) при всех значениях а. Здесь а 
есть начальное значение 
мы будем считать, что 
Чтобы найти полный интеграл, положим
Это выражение удовлетворяет уравнению (16.7.2), если
Для 
примем выражение
Следовательно,
Из теоремы Гамильтона — Якоби получаем
что можно записать в обычной форме:
где
Выясним, как связаны между собой оба полученных полных интеграла. Рассмотрим сначала решение
и положим в нем
считая, что функция 
а в остальном произвольна. Тогда правая часть (16.7.10) будет иметь вид 
а, а). Из теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка известно, что если решить уравнение
относительно а и подставить это значение в 
то мы получим новый полный интеграл. Надо показать, что при надлежащем выборе функции 
мы придем этим путем к функции (16.7.7) с аддитивной постоянной а. Положим
Тогда уравнение (16.7.12) запишется в следующей форме:
Это уравнение нужно решить относительно а и результат подставить в 
Перепишем уравнение (16.7.14) в виде
и положим 
тогда будем иметь
где 
Таким образом,
Но
так что функция (16.7.17) принимает вид
Таким образом, подставив в (16.7.17) значение а, найденное из уравнения (16.7.14), мы действительно получили новый полный интеграл.
В заключение остановимся коротко на одном обстоятельстве, имеющем важное значение для приложений теоремы Гамильтона — Якоби. Мы видели, что выражение — 
является полным интегралом уравнения 
при условии, что функция 
удовлетворяет дифференциальному уравнению
и приняли 
в виде (16.7.6), причем нижний предел интеграла взяли равным нулю. В качестве нижнего предела можно было бы взять один из нулей функции, стоящей под радикалом, например —а. В дальнейшем нам часто будут встречаться случаи, когда полный интеграл содержит слагаемое 
причем 
удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
(функция 
содержит, разумеется, еще параметры а). Таким образом,
и в качестве нижнего предела интегрирования можно взять либо абсолютную постоянную, либо простой нуль а функции 
Обычно выбирают вторую возможность, и в этом случае нижний предел интегрирования оказывается зависящим от а. Но при вычислении частной производной 
дифференцирование, как и прежде, производится только под знаком интеграла; от того, что нижний предел есть функция 
новые члены не появляются, поскольку подынтегральная функция при а обращается в нуль.
Операция дифференцирования по 
под знаком интеграла приводит к несобственному интегралу, в котором подынтегральная функция обращается в бесконечность на одном из пределов интегрирования. (Например, интеграл
. В этой задаче мы фактически уже встречались со сходящимися несобственными интегралами: в уравнении 
мог принимать значения а и —а, и при этих значениях х интеграл в правой части становился несобственным, уравнение же 
оставалось справедливым и для этих значений х.
