§ 7.3. Матрица l и вектор Т.

Рассмотрим теперь перемещение тела и теорему о существовании неподвижной прямой с другой точки зрения. Возьмем фиксированный в теле прямоугольный триэдр и рассмотрим матрицу направляющих косинусов осей по отношению к неподвижным осям Оба триэдра будем предполагать правыми. (Иногда будет удобнее пользоваться другими обозначениями, а именно оси подвижного триэдра обозначать через а оси неподвижного — через Матрица направляющих косинусов имеет вид

Элементы строки суть направляющие косинусы оси по отношению к триэдру Первый столбец матрицы дает направляющие косинусы оси по отношению к триэдру Вообще элемент выражает косинус угла между

Если координаты точки в системе ее координаты в системе то

где матрица-столбец , а у — матрица-столбец

Если тело перемещается из первоначального положения, при котором оси совпадают с осями то точка, фиксированная в теле и находившаяся ранее в положении у, переходит в положение х по отношению, конечно, к неподвижной системе

Матрица I является ортогональной матрицей размером

где V обозначает транспонированную матрицу одно из собственных значений этой матрицы равно Таким образом, существует ненулевой вектор х такой, что

Это равенство показывает, что существует прямая в теле, которая при повороте тела остается неподвижной.

Для доказательства того, что существует собственное значение, равное рассмотрим функцию

Имеем

Отсюда

Следовательно,

Можно пойти дальше и получить с помощью матрицы I явные формулы для угла поворота и направляющих косинусов оси вращения. (Мы имеем в виду направляющие косинусы по отношению к неподвижной системе хотя на самом деле они не отличаются от направляющих косинусов по отношению к осям Уравнение

определяет изменение положения фиксированной частицы тела, перешедшей из положения в положение Координаты точки (в неподвижных равны а координаты точки равны Уравнение (7.3.2) можно представить в эквивалентной форме:

где К матрица Очевидно, матрица К существует при условии, что —1 не является собственным значением матрицы Кроме того, матрица К кососимметрическая. Для доказательства рассмотрим равенство

Рис. 12.

Умножая его справа на I, находим

Транспонируя матрицы, получаем

Следовательно,

и, стало быть, матрица К является кососимметрической:

Произведение матриц представляет собой матрицу-столбец векторного произведения где вектор имеет составляющие На рис. 12 прямая имеет направление

вектора точка есть средняя точка отрезка перпендикулярного к плоскости, содержащей векторы поскольку а является точкой пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной к прямой Из соотношений

следует, что

где через а обозначен угол можно считать, что Перемещение из точки в точку достигается путем поворота на угол а около оси

Таким образом, матрица I определяет вектор Т:

где единичный вектор вдоль оси вращения, угол поворота. Собственно говоря, ось вращения и угол поворота определяются матрицей Вектор поворота будет играть важную роль в дальнейшем.

Если теперь через обозначить радиус-вектор частицы тела (по отношению к неподвижным осям) до перемещения, а через радиус-вектор той же частицы после перемещения, то уравнение (7.3.11) можно представить в следующей форме:

где вектор поворота. Это соотношение теряет силу, если а есть нечетное кратное от ; в частности, оно неверно для полуоборота. Но в обычных случаях можно предполагать (как уже указывалось ранее), что Любое значение а (не нечетное кратное от ) можно представить в форме где k — целое число, а Если то поворот на угол эквивалентен повороту на угол Если то поворот на угол около оси эквивалентен повороту на угол около оси При замене а на а, а и на вектор остается неизменным (как и следовало ожидать, поскольку этот вектор определяет перемещение).

Пример 7.3. Найти ось вращения и угол поворота в случае, когда после перемещения ось совпадает с осью ось с осью и ось с осью . В этом случае

так что вектор равен Ось вращения наклонена к осям под одинаковыми углами, а . В этом простом примере результат очевиден и без вычислений. Ось вращения можно найти, исходя из того, что она имеет направление собственного вектора, соответствующего собственному значению а величину угла поворота — исходя из того, что остальные собственные значения равны (Матрица I имеет те же собственные значения, что и матрица В и см. ниже формулу