§ 6.6. Функция Лагранжа.

В этом параграфе мы примем новую систему обозначений. До сих пор, описывая положение и движение системы с помощью координат х и скоростей х, мы кинетическую и потенциальную энергии обозначали соответственно через

Когда мы рассматривали четвертую форму основного уравнения и уравнения Лагранжа, мы во избежание возможной путаницы соответствующие функции, выраженные через обозначали через и . Теперь можно без ущерба для понимания отбросить эти символы и для обозначения кинетической и потенциальной энергий, выраженных через (а также, возможно, и пользоваться буквами Таким образом, для случаев,

описанных в § 6.5, четвертая форма основного уравнения запишется в виде

Если разность обозначить через то уравнение (6.6.1) можно будет записать в следующей форме (поскольку функция V не зависит от

Если система голономна и то уравнения движения будут иметь вид

Если же система неголономна и то уравнения движения будут иметь вид

К этим уравнениям нужно присоединить I уравнений связи

Функцию Лагранжа называют кинетическим потенциалом механической системы. Зная кинетический потенциал, можно написать уравнения движения системы, так что фактически он полностью определяет всевозможные движения механической системы. В дальнейшем мы встретимся еще с другими функциями, описывающими движения системы.

Результаты, выражаемые уравнениями (6.6.3) и (6.6.4), можно распространить и на некоторые случаи, когда заданные силы зависят от скоростей. Если работа заданных сил на произвольном виртуальном перемещении может быть выражена в форме

где V зависит от (а также, возможно, и от то уравнение (6.6.2), в котором по-прежнему сохраняет силу. Уравнения (6.6.3) и (6.6.4) также остаются справедливыми.

Нужно, однако, сделать следующее предостережение. Функция V может зависеть от лишь линейно, т. е.

где зависят только от (и, быть может, от В противном случае заданные силы были бы функциями от составляющих ускорения, что, как мы видели в § 1.4, невозможно в рамках ньютоновой механики.

Для натуральной системы функция Лагранжа имеет вид где однородная квадратичная функция от В других случаях может содержать члены, линейные относительно которые, следовательно, войдут и в выражение для В дальнейшем (§ 10.6) мы рассмотрим влияние этих членов на уравнения движения.