§ 19.8. Движение в окрестности седловой точки.

Запишем уравнения в форме

где Имеем

Можно указать такой угол и такую положительную постоянную К, чтобы

(обозначения см. на рис. 82). Кроме того, имеем

так что

Аналогичные результаты можно получить и для если рассматривать точки в достаточной близости от точки О. Существуют расстояние и положительные числа к, к такие, что если то

и

Рассмотрим траекторию, начинающуюся в области Поскольку в этой области изображающая точка перейдет в область (если только перед этим она не выйдет за пределы круга Как и ранее, оказавшись в области , изображающая точка останется в этой области. Но в области

что указывает на то, что при дальнейшем движений изображающая точка покинет круг. Итак, либо точка попадает в область и затем выходит за пределы круга либо она покидает этот круг прежде, чем входит в область А. Особая точка неустойчива, что совпадает с результатом, полученным при линейном приближении.

Рис. 82.

Как и в случае линейного приближения, существует одна единственная траектория, которая входит в точку О по направлению положительной оси х. Для доказательства рассмотрим траектории, начинающиеся в точках дуги окружности Траектория с началом в точке попадает в область после чего она покидает пределы круга в точке, расположенной выше оси (как мы видели выше). Аналогично, траектория, начинающаяся в точке С, попадает в область 54 и потом выходит из пределов круга в точке ниже оси Если теперь предположить, что все траектории, начинающиеся в точках дуги принадлежат к одной из двух этих групп (т. е. они покидают пределы круга либо в верхней, либо в нижней полуплоскости), то придем к противоречию. На дуге имеем два открытых множества, следовательно, существует хотя бы одна разделяющая их точка, которая не принадлежит ни к одному из этих множеств; начинающаяся в этой точке траектория не относится ни к одной из указанных групп. Эта траектория не покидает пределов области следовательно, входит в точку О вдоль оси Но с помощью тех же рассуждений можно доказать, что существует по крайней мере одна траектория, входящая в точку О слева по оси

Пример Простой маятник. В качестве примера рассмотрим простой маятник вблизи положения неустойчивого равновесия. Если отсчитывать значения от верхней точки окружности, то уравнение движения запишется в форме

Оно эквивалентно двум уравнениям первого порядка:

Напишем линейное приближение:

Собственные значения равны особая точка представляет собой седло. Из предыдущего нам известно, что существует траектория, которая входит в особую точку с двух противоположных сторон; в соответствующих лимитационных движениях маятник достигает верхней точки окружности.

На рис. 83 показаны траектории для общего случая (не только для случая движения вблизи особой точки). Особенности расположены на линии в точках точки четное) являются седлами, точками неустойчивого равновесия, а нечетное) представляют собой вихревые точки, точки устойчивого равновесия. Уравнения траекторий имеют вид

где — угловая скорость в нижней точке окружности; уравнение (19.8.12), разумеется, эквивалентно уравнению энергии. Для колебательных движений для движений, в которых непрерывно возрастает или убывает, В критическом случае, когда энергетический уровень касается окружности в ее верхней точке, Разделяющая кривая, или сепаратриса, определяется уравнением (кривая изображенная на рисунке пунктиром, соответствует движению, когда при 2а снизу; физически это движение не отличается от лимитационного движения, в котором при снизу, так что фактически пунктирная кривая также является частью сепаратрисы).

Рис. 83.

Пример 19.8В. Маятник в сопротивляющейся среде. Рассмотрим теперь случай, когда маятник движется в сопротивляющейся среде. Пусть, например, бусинка скользит по гладкой вертикальной проволочной окружности, испытывая сопротивление, пропорциональное скорости. Отсчитывая от верхней точки окружности, запишем уравнение движения в форме

Оно эквивалентно двум уравнениям первого порядка:

Первое приближение будет иметь вид

Собственные значения равны где Точка является седловой точкой. Существует траектория, которая входит в это седло с двух сторон.

В любой точке окружности можно сообщить бусинке такую начальную скорость, которая будет как раз достаточна для того, чтобы бусинка достигла верхней точки, хотя время для этого может потребоваться бесконечно большое. Это чувствуется интуитивно. Можно представить, что существует критическое значение начальной скорости, ниже которого бусинка не дойдет до верхней точки окружности, а выше которой — пройдет ее.

Интересно рассмотреть совокупность траекторий в общем случае (а не только вблизи седловой точки). Заменив на х и выбрав соответствующий масштаб времени, можно уравнение записать в следующей форме:

где соответствующие уравнения первого порядка будут иметь вид

В подобных задачах обычно удается построить силовые линии графически. Построим сначала (рис. 84) кривую Перпендикуляр к оси опущенный

из произвольной точки А, пересечет синусоиду в точке В, а ось в точке На оси выберем точку С, лежащую слева (справа) от точки на расстоянии если точка А расположена выше (ниже) точки В. Вектор поля в точке А имеет направление, перпендикулярное к СА. На рис. 85 показаны силовые линии этого лоля, которые являются траекториями рассматриваемой динамической задачи.

Рис. 84.

Рис. 85.

Точка неустойчивого равновесия является седлом, а точка устойчивого равновесия устойчивым фокусом.