§ 17.3. Изучение движения системы.

Интегралы уравнений движения имеют вид

и

Для решения задачи Лагранжа, описания движения в пространстве х, у, требуются лишь уравнения (17.3.1), (17.3.2); их можно записать кратко так:

где

и

Уравнения (17.3.5), надлежащим образом интерпретированные, позволяют свести интегрирование уравнений Лагранжа к квадратурам. Заметим, что произвольные постоянные А, а линейно входят в Положим

Переменную можно интерпретировать как «искусственное время», отсчитываемое часами, движущимися вместе с изображающей точкой в пространстве х, у. Скорость хода этих часов зависит от их положения в пространстве, и так как сумма всегда положительна, то всегда возрастает вместе с t. Далее имеем

так что

Эти уравнения можно интерпретировать подобно тому, как это было сделано в случае одной степени свободы (§ 1.2). Действительно, соотношение между хит здесь такое же, как между в § 1.2. Нужно, однако, помнить, что соотношение между переменными зависит от х и у, так что движения по х и по у фактически не независимы. Тем не менее в известном смысле эти движения можно рассматривать как независимые. Они были бы полностью независимы, если бы сумма оставалась постоянной (что потребовало бы, разумеется, чтобы были постоянны по отдельности). Если сумма изменяется не слишком сильно, то х и у можно считать почти независимыми. В этом заключается смысл несколько туманного утверждения, высказанного в § 17.1.

Предположим теперь, что сумма которая, как мы знаем, положительна, ограничена сверху для всех значений х и у или по крайней мере для значений, достигаемых в процессе рассматриваемого движения, т. е. будем считать, что существует постоянная А такая, что для всех t

Тогда вместе с В этом случае общий характер движения по каждой координате очевиден. Если, например, начальное значение х лежит между последовательными простыми нулями функции , то изменение х носит характер колебаний между этими значениями Движение такого типа мы будем по-прежнему называть либрацией несмотря на то, что оно уже не является периодическим по t (хотя и периодично по Как и в случае

одной степени свободы, знак радикала в (17.3.5) выбирается положительным, когда х возрастает, и отрицательным, когда х убывает. То обстоятельство, что мы здесь имеем двузначную функцию, нас не должно смущать: это связано с самой сущностью задачи. Если же начальное значение х расположено вблизи двойного нуля с функции то при стремлении к бесконечности этот случай соответствует лимитационному движению. Аналогичные соображения можно высказать, конечно, и в отношении координаты у.

Рассуждения изменятся, если сумма не ограничена. Предположим, например, что в рассматриваемом движении стремится к бесконечности вместе с t. (Обычно это имеет место, когда х или у обращается в бесконечность вместе с Если интеграл

сходится, то при переменная х стремится к конечному пределу т. е. «искусственное время» должно остановиться! Легко сообразить, как следует видоизменить предыдущие выводы для этого случая. Если начальное значение х лежит между последовательными простыми вещественными нулями функции то вместо неограниченно продолжающейся либрации мы получаем, что при стремящемся к бесконечности, х стремится к пределу I (быть может, после некоторого числа колебаний). Если же х находится вблизи двойного нуля с функции то х с ростом t стремится к пределу, лежащему в окрестности с. Движения такого типа можно назвать псевдолимитационными движениями.

Рис. 49.

Если по каждой из координат имеет место либрация и, кроме того, число определяемое формулой

рационально, то движение является периодическим. Если где целые числа, не имёющие общего множителя, то после либраций по координате либраций по координате у система возвратится в первоначальное положение, т. е. примет первоначальные значения координат и скоростей. Период этого движения будет равен

Если есть число иррациональное, то движение не будет периодическим, а траектория будет располагаться вся внутри прямоугольника плоскости оставаясь незамкнутой (рис. 49). Такое движение называют квазипериодическим. Более подробное изучение квазипериодических движений связано с введением так называемых угловых переменных. Это исследование мы отложим до рассмотрения общего случая переменных. (В § 1.3 был указан один простой пример введения угловой переменной для системы с одной степенью свободы.)

Так как обе функции, и содержат то, казалось бы, естественно ожидать, что путем выбора начальных условий всегда можно получить как периодические, так и апериодические движения. Такая гипотеза, однако, оказывается несостоятельной. Мы знаем, что существуют системы, которые всегда совершают периодические движения, и системы, которые никогда не движутся периодически. Оба типа систем встречаются в теории малых колебаний. Если отношение периодов есть число рациональное, то траектория системы всегда периодична, каковы бы ни были начальные условия; если же это отношение есть число иррациональное, то траектория никогда не является периодической (исключая, разумеется, тот случай, когда система совершает главные колебания). Другой достаточно ясный пример — это ньютоновская орбита, которая всегда периодична, каковы бы ни были величина и направление начальной скорости планеты (если, конечно, начальная скорость не превышает того значения, которое она имела бы при движении из бесконечности в начальную точку под действием притяжения к центру). В § 18.8 мы вернемся к этому вопросу и выясним причину встречающейся здесь особенности.