§ 3.9. Распределенные системы.

В классической механике изучаются главным образом системы, имеющие конечное число степеней свободы, о них в основном и будет идти речь в этой книге. Тем не менее естественно предположить, основываясь на физических соображениях, что основное уравнение справедливо также и для распределенных систем, имеющих бесконечное число степеней свободы, например движущейся жидкости или колеблющейся струны.

В таких задачах суммирование в основном уравнении заменяется интегрированием. В этом параграфе мы рассмотрим два таких примера. Сначала рассмотрим задачу классической гидродинамики.

1) Идеальная (невязкая) несжимаемая жидкость находится под действием заданных сил и заключена между внутренней и внешней границами,

которые либо находятся в покое, либо совершают движение. Движение границ должно быть таким, чтобы заключенный между ними объем оставался неизменным; это условие автоматически выполняется, если границы представляют собой твердые поверхности.

Но здесь мы наталкиваемся на трудность. Движение жидкости полностью определяется движением границ, каковы бы ни были действующие на жидкость силы. Что же в таком случае можно получить из основного уравнения?

Оказывается, что основное уравнение устанавливает существование функции давления, при помощи которой полностью описываются внутренние напряжения в жидкости.

Основное уравнение для непрерывных систем имеет вид

В этом уравнении обозначает плотность жидкости (не обязательно однородной), составляющие ускорения, составляющие заданной силы на единицу массы жидкости, составляющие произвольной виртуальной скорости. Интегрирование производится по всему пространству, занятому жидкостью. Уравнение (3.9.1) можно записать в векторной форме:

Здесь есть вектор а виртуальная скорость такова, что и нормальная составляющая на граничной поверхности обращается в нуль. Если

то удовлетворяется уравнение неразрывности. Полагая

где и скалярные функции класса получаем

Линии тока поля виртуальных скоростей (с фиксированными граничными поверхностями) представляют собой линии пересечения поверхностей так что если в качестве мы выбираем функцию, которая на поверхности обращается в нуль, то на этой поверхности обращается в нуль и

Основное уравнение (3.9.2) принимает теперь вид

С помощью векторного тождества

уравнение (3.9.6) можно привести к виду

Интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, так как он равен интегралу от нормальной составляющей вектора по границе а последний равен нулю, поскольку вектор А на границе обращается в нуль. Таким образом,

и это равенство справедливо для всех функций класса обращающихся в нуль на поверхности Поэтому в каждой точке жидкости

Отсюда легко вывести, что всюду в жидкости

(Можно, например, положить тогда из (3.9.10) видно, что составляющая х вектора равна нулю.)

Поскольку равенство (3.9.11) справедливо в любой точке жидкости, существует скалярная функция такая, что

и, следовательно,

Таким образом, мы получили уравнения движения жидкости; здесь функция давления.

2) В качестве второго примера сплошной системы рассмотрим задачу о колеблющейся струне. Однородная упругая струна натянута силой концы струны неподвижно закреплены на оси Струна принимается идеально гибкой, и рассматриваются малые поперечные колебания в плоскости Натяжение струны в процессе ее движения остается постоянным.

Изменяя надлежащим образом уравнение (3.4.3), можем написать для сплошной системы

Здесь масса (постоянная) единицы длины, а поперечное перемещение струны. Уравнение (3.9.14) справедливо для любого момента а виртуальное перемещение принадлежит классу в промежутке причем в точках Кроме того,

где К — длина струны в смещенном положении в момент

(производная обозначена здесь через Уравнение (3.9.14) можно записать теперь в виде

Так как то, интегрируя по частям и учитывая, что при находим

Здесь а обозначает производную Равенство (3.9.18) верно в любой момент времени для любого описанного выше типа. Отсюда следует, что функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

Это — волновое уравнение, описывающее поперечные колебания струны. Мы его получили для струны конечной длины но оно справедливо и для бесконечной или полубесконечной струны. Уравнение получило название волнового благодаря тому, что ему удовлетворяет решение где произвольная функция класса Таким образом, решение

представляет волну, распространяющуюся по струне в направлении возрастания х. Решение

представляет волну, распространяющуюся в противоположном направлении.