§ 25.10. Случай, когда функция Гамильтона является однородной квадратичной формой

В теории малых колебаний, когда применяются главные координаты, функция Гамильтона имеет вид

В результате контактного преобразования

получаем новую функцию Гамильтона:

Уравнения движения принимают простой вид:

Функция Гамильтона (25.10.1) представляет сумму двух независимых однородных квадратичных форм, одна из которых содержит только переменные а другая — только переменные Покажем, что функцию Гамильтона можно привести к виду (25.10.3) всякий раз, когда является однородной квадратичной формой переменных Функция Гамильтона такого типа встречается, например, в уравнениях в вариациях (см. (23.6.4)).

Будем пользоваться обозначениями § 24.13 и заменим переменные

переменными

где Однородную квадратичную форму можно представить в виде

где вектор-столбец, элемент которого равен вещественная симметричная матрица размером Докажем, что можно подобрать такую матрицу К с постоянными элементами, чтобы линейное преобразование

было контактным преобразованием, приводящим функцию к виду

Если это удастся сделать, то дальнейшее решение задачи станет простым. Уравнения движения имеют вид

Решением этих уравнений будет

где обозначают соответственно величины при Если один из показателей скажем чисто мнимый, то существует периодическое движение системы, при котором все равны нулю.

Обратимся теперь к задаче отыскания контактного преобразования, приводящего функцию Гамильтона к форме (25.10.7). Требуется построить матрицу К размером такую, чтобы

и

где -диагональная матрица размером

Рассмотрим собственные значения матрицы т. е. корни уравнения где

Имеем

и так как

Поскольку матрица неособенная, ни один из корней не равен нулю; будем предполагать, что все они различны.

Полином содержит только четные степени Это следует из того, что матрица — симметрическая, а матрица кососимметрическая. Следовательно,

откуда следует, что есть четная функция:

Корни образуют пары Расположим их в следующем порядке:

так что при будем иметь Ни один из корней не равен нулю, и среди них нет также двух одинаковых или двух равных по величине, но противоположных по знаку.

Существуют линейно независимых собственных векторов таких, что

а также

Обозначим через В матрицу размером с элементами

Тогда, если и то

С другой стороны,

и так как то Точно так же можно показать, что Далее,

Отсюда видно, что если то Точно так же, если то и так далее, поскольку матрица кососимметрическая и

Обозначим через К матрицу а через С — матрицу Элемент матрицы С равен

откуда следует, что матрица С — кососимметрическая. В самом деле,

где — диагональная матрица размером

и

Умножим теперь или каждый из них) на подходящим образом выбранный (комплексный) скалярный множитель так, чтобы получить Если проделать эту процедуру для всех значений из последовательности то получим и матрица К будет удовлетворять условию симплектичности (25.10.10). Кроме того, имеем

где матрица имеет элементы вида

и, следовательно, представляет собой симметрическую матрицу

Таким образом, матрица К обладает требуемыми свойствами (25.10.10) и (25.10.11); преобразование является контактным, а новая функция Гамильтона

имеет желаемую форму (25.10.7).

Вернемся к уравнению Поскольку коэффициенты полинома вещественны, его корни являются комплексно-сопряженными. Если собственное значение не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то существует собственное значение такое, что Далее,

откуда

и так как матрица имеет ранг то отличается от лишь скалярным множителем:

Аналогичным образом получаем, что

При желании можно нормировать собственные векторы (умножением на подходящие скалярные множители) таким образом, чтобы выполнялись равенства но это не всегда целесообразно делать. Решение для у дается формулами

и, следовательно,

Слагаемые

входящие в выражение (25.10.38) для х, дают в сумме вещественное число, если

Если одно из собственных значений есть чисто мнимое число где вещественно, то отличается от только скалярным множителем. Если при этом выбрать равным то будет чисто мнимым. Если одно из собственных значений вещественно, то также будет вещественным, и мы можем выбрать соответствующие собственные значения вещественными. При таком выборе сумма соответствующих слагаемых в выражении (25.10.38) для х будет вещественной, если вещественны коэффициенты

Пример 25.10. В качестве примера рассмотрим случай, когда а матрица 8 имеет вид

Собственные значения определяются из уравнения

и, стало быть, располагаются на единичной окружности в комплексной -плоскости (рис. 106).

Рис. 106.

Матрица собственные векторы которой не нормированы, имеет вид

Для таких векторов имеем

Умножая на подходящим образом выбранные скалярные множители, получаем после чего матрицу К можно записать в виде