§ 24.13. Другая форма условий контактности преобразования.

Заменим символы

(см. § 22.1), а символы

Рассмотрим квадратную матрицу размером с элементами Ее можно представить в форме

где матрицы размером с элементами

Тогда

Это равенство показывает, что необходимые и достаточные условия контактности преобразования можно представить в форме

Условию (24.13.4) удовлетворяют как матрица так и обратная матрица с элементами Для того чтобы убедиться в этом, достаточно умножить обе части равенства (24.13.4) слева на и справа на

С другой стороны, этот результат связан с тем, что само преобразование в является контактным.

Итак,

Если теперь перейти к обратным матрицам, то получим

откуда следует, что условие, которому удовлетворяет матрица удовлетворяется и транспонированной матрицей. Сказанное выше справедливо и для матрицы которая является транспонированной обратной матрицей; имеем

Все четыре условия (24.13.4) — (24.13.7) эквивалентны друг другу: каждое из них влечет за собой три остальных. Матрица обладающая таким свойством, называется симплектической матрицей (см. § 23.6). Если есть симплектическая матрица, то это относится и к транспонированной и к обратной матрицам.

Рассмотрим в качестве примера линейное преобразование

с неособой матрицей С, элементы которой постоянны. В этом случае и преобразование является контактным тогда и только тогда, когда выполняется матричное равенство