§ 24.13. Другая форма условий контактности преобразования.
Заменим символы
(см. § 22.1), а символы
Рассмотрим квадратную матрицу 
размером 
с элементами 
Ее можно представить в форме
где 
матрицы размером 
с элементами
Тогда
Это равенство показывает, что необходимые и достаточные условия контактности преобразования можно представить в форме
Условию (24.13.4) удовлетворяют как матрица 
так и обратная матрица 
с элементами 
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно умножить обе части равенства (24.13.4) слева на 
и справа на 
С другой стороны, этот результат связан с тем, что само преобразование 
в 
является контактным.
Итак,
Если теперь перейти к обратным матрицам, то получим
откуда следует, что условие, которому удовлетворяет матрица 
удовлетворяется и транспонированной матрицей. Сказанное выше справедливо и для матрицы 
которая является транспонированной обратной матрицей; имеем
Все четыре условия (24.13.4) — (24.13.7) эквивалентны друг другу: каждое из них влечет за собой три остальных. Матрица 
обладающая таким свойством, называется симплектической матрицей (см. § 23.6). Если 
есть симплектическая матрица, то это относится и к транспонированной и к обратной матрицам.
Рассмотрим в качестве примера линейное преобразование
с неособой матрицей С, элементы которой постоянны. В этом случае 
и преобразование является контактным тогда и только тогда, когда выполняется матричное равенство
