Методы определения собственных значений, основанные на подобных преобразованиях

14. Учитывая соображения предыдущего раздела, даем общий анализ методов определения собственных значений, основанных на подобных преобразованиях. Пусть рассматривается алгорифм, который по матрице определяет последовательность матриц где

Обычно, но не всегда, каждая более проста, чем ее предшественница, в том смысле, что определяется таким способом, при котором сохраняет все нулевые элементы, полученные на прежних шагах, и дополнительно имеет несколько нулевых элементов. Существует несколько методов итерационного характера, для которых, однако, последовательность существенно бесконечна, и нулевые элементы получаются только в предельной матрице последовательности. Методы этого типа должны обладать на практике достаточно быстрой сходимостью для элементов, чтобы сделать «нуль с рабочей точностью» за умеренное число шагов. Анализ, который дается ниже, применяется в любом случае; если метод итерационного типа, то множество нулевых элементов, на которое мы время от времени ссылаемся, может быть пустым.

Последовательность матриц определенных (14.1), соответствует, конечно, точному вычислению. действительности делаются ошибки округления и в результате получается последовательность матриц, которые обозначим как Матрица имеет одно особое свойство, которое заслуживает замечания. Точный алгорифм конструируется так, чтобы получить некоторое количество нулевых элементов в каждой в действительном процессе матрицам также приписывается то самое множество нулевых элементов. Другими словами, не нужно пытаться вычислять эти элементы; они автоматически устанавливаются равными нулю на каждой стадии процесса. Рассмотрим теперь типичную стадию в практической процедуре, когда мы уже получили матрицу Существует матрица отличная от матрицы которая получена применением точного алгорифма к Кроме того, в действительности получаем матрицу которая, вообще говоря, не будет той же, что потому что в применении алгорифма к мы будем делать ошибки округления. Таким образом, имеется три последовательности матриц:

(i) матрицы удовлетворяющие (14.1) и соответствующие точному выполнению алгорифма;

(ii) матрицы удовлетворяющие

где есть матрица, соответствующая точному применению шага алгорифма к

(iii) матрицы которые получаются на практике.

Мы найдем, что первая последовательность матриц не играет никакой роли в любом анализе ошибок, который будет дан. Можно было бы ожидать, что алгорифмы, которые численно устойчивы, приведут к матрицам близким к и что будет плодотворной попыткой нахождение оценки для но это неверно. На первый взгляд это может показаться едва ли заслуживающим доверия, так как кажется, что если не близка к то не должно быть причин предполагать, что собственные значения близки к собственным значениям Однако мы должны помнить, что в действительности нам неинтересно, близка ли если только она точно подобна некоторой матрице, которая близка к Если это верно, то ошибка в каждом собственном значении будет зависеть главным образом от их чувствительности к возмущениям в исходной матрице, и мы уже отмечали, что не можем ожидать устранения отрицательного эффекта плохой обусловленности.