Минимальный полином матрицы

35. Мы можем подобным образом рассмотреть последовательность матриц Снова существует наименьшее значение для при котором эта последовательность матриц линейно зависима. Мы можем записать это в виде соотношения

Например, если

то

и, следовательно,

Соотношения более низкой степени не существует, так как

и это не равно нулю ни при каком Этот пример важен для следующих параграфов.

Полином соответствующий левой части уравнения (35.1), называется минимальным полиномом матрицы А. Точно так же, как в § 34, можем показать, что он единствен и делит все другие полиномы для которых

Минимальный полином с любого вектора по отношению к А делит так как мы, очевидно, имеем Пусть — минимальные полиномы по отношению к А, и пусть наименьшее общее кратное (н. о. к.) Тогда имеем

и, следовательно, Отсюда следует, что для любого вектора, и поэтому это н. о. k. минимальных полиномов всех векторов.

На самом деле мы должны иметь так как по определению следовательно, Наименьшее общее кратное минимальных полиномов должно поэтому делить следовательно, делит Но по определению это полином наименьшей степени, для которого

Мы развили эту теорию, исходя из системы векторов-столбцов Аналогично, рассматривая системы векторов-строк мы можем определить минимальный полином по отношению к А. Ясно, что минимальный полином по отношению к же самый, что и минимальный полином по отношению к

Если это н. о. k. минимальных полиномов то мы можем показать, что нулевая матрица, и следовательно, тоже совпадает с Рассматривая векторы-строки или векторы-столбцы, мы получаем тот же минимальный полином А. Нам будет в дальнейшем (§ 37) удобнее работать с векторами-строками.