Левые умножения на последовательность неунитарных матриц
48. Существует одно преобразование, использующее матрицы типа 
для которого мы сможем дать достаточно удовлетворительный анализ ошибок. Это левое умножение матрицы 
на последовательность матриц 
Мы запишем
так что 
есть матрица ошибок, сделанных при действительном умножении. Левое умножение на 
лишь переставляет строки 
и поэтому не влечет за собой ошибок округления. В последующем левом умножении на 
строки с 1-й до 
не изменяются, так что 
в этих строках нулевая. Объединяя уравнения (48.1) для 
от 1 до 
мы доказываем аналогично доказательству § 15, что
Поэтому матрица 
в точности эквивалентна матрице в квадратных скобках правой части (48.2). Теперь покажем, что
Имеем
Здесь 
такова же, как матрица 
но с измененными знаками элементов, лежащих ниже диагонали. Следовательно,
так как левое умножение на 
приводит лишь к прибавлению кратного нулевой 
строки к строкам от 
до 
Поэтому
и так как 
матрица 
нулевая в строках от 1 до 
Продолжая это доказательство, получаем (48.3). Матрица в правой части (48.3) есть просто 
с переставленными строками. Следовательно, уравнение (48.2) показывает, что 
в точности эквивалентна 
с возмущением
Итак, каждая совокупность ошибок 
эквивалентна по своему влиянию возмущению исходной матрицы, состоящему из матриц 
с переставленными строками. Никакого увеличения этих ошибок не происходит, если они включены в исходную матрицу. (Заметим, что этот результат верен и тогда, когда не используются перестановки.) Существует, конечно, аналогичный результат для правого умножения на матрицы вида 
где
и правое умножение на 
здесь осуществляет перестановку столбцов.
Из этого замечательного результата непосредственно вытекает, что опасность неустойчивости возникает лишь из того, что сами матрицы 
могут быть большими. Так как ошибки, сделанные на любом шаге, вообще говоря, пропорциональны величине текущих элементов преобразованной матрицы, то мы видим чрезвычайную важность обеспечения того, чтобы элементы 
были как можно меньшими. По этой причине перестановки существенны.
Читателю следует проверить, что соответствующий анализ для преобразований с матрицами 
не дает столь удовлетворительного результата. Эквивалентные возмущения в исходной матрице имеют значительно более сложную структуру.
