Дальнейший анализ ошибок

16. Мы дали анализ ошибок, соответствующий использованию арифметики с фиксированной запятой и накоплением скалярных произведений. Если использовать плавающую запятую с накоплением, пренебрегая членами порядка то, например, для случая получим для оценку вида

Как обычно, мы несколько больше выигрываем от малости элементов преобразованной матрицы по сравнению с вычислениями с фиксированной запятой, помимо обычного преимущества плавающей запятой — отсутствия нормировок в случае роста ведущих элементов.

Анализ методов §§ 8 и 9 имеет много общего с анализом прямого приведения к форме Хессенберга. Для методов § 9, например для модификации I с фиксированной запятой и накоплением скалярных произведений, мы имеем

Из (9.1) и из уравнений, определяющих находим, например, в случае что

Снова предполагается, что все элементы ограничены по модулю единицей.

Уравнение (16.2) может быть записано в виде

так что

Аналогично для модификации II можно показать, что

и для можно получить ту же оценку, что и для Уравнение (16.6) дает возмущение эквивалентное ошибкам на шаге.

К сожалению, для любой модификации окончательная оценка возмущения А, эквивалентного ошибкам округления в полном процессе, содержит множитель как можно было ожидать, несколько хуже, чем оценка, полученная для прямого приведения.

17. Полезно проследить историю отдельного собственного значения X матрицы в процессе перехода от Вообще говоря, число обусловленности (гл. 2, § 31) этого собственного значения будет меняться, и если обозначить соответствующую величину через то грубые верхние границы для окончательных ошибок в X будут соответственно

при использовании модификаций I и II. Если мы обозначим

то окончательные ошибки в X будут не больше, чем ошибки от возмущений, ограниченных соответственно величинами

и, следовательно, если использовать при оценках евклидову норму и неравенство (16.5), величиной

Эта сумма асимптотически стремится к

Если числа обусловленности каждого собственного значения не меняются в слишком широких пределах, а будет порядка единицы, и полученный результат весьма удовлетворителен. Если у их — нормированные левый и правый собственные векторы, соответствующие Я, то собственными

векторами будут но эти векторы уже не нормированы. Поэтому мы имеем

Следовательно, отношение к зависит от длины векторов компоненты которых равны

соответственно. Длины преобразованных собственных векторов могут, следовательно, постоянно расти, даже если в результате выбора ведущих элементов мы имеем

Мы просчитали эти изменения случайно выбранных матриц и нашли, что изменения чисел обусловленности были удивительно малы. Однако из-за большого объема работы, количество примеров было невелико.

Подчеркиваем, что если выбор ведущих элементов не используется и мы имеем порядка то, вообще говоря, имеются элементы которые больше элементов раз. Эквивалентное возмущение исходной матрицы также больше во столько же раз. Неприятности от неправильного выбора ведущих элементов поэтому могут быть даже более серьезными, чем в методе Гаусса. Кроме того, наше обсуждение изменений чисел обусловленности отдельного собственного значения показывает, что если велик, то в результате преобразования возможно резкое ухудшение числа обусловленности.