Положительно определенные эрмитовы матрицы

8. Если положительно определенная эрмитова матрица, то можно сньгь ограничения § 7. В этом случае

где X — унитарная, а — вещественные и положительные. Следовательно, уравнение (6.5) перейдет в

Рассмотрим класс наборов для которых Пусть такой представитель этого класса, что принимает наибольшее значение. Тогда в знаменателе преобладает член (или члены) с Что касается числителя, то мы знаем из определения что не может существовать член более высокого порядка, чем конечно, этот член может иметь нулевой коэффициент. Следовательно, стремится к пределу, который может быть нулем.

Сейчас мы не хотим делать никаких предположений относительно главных миноров X, и поэтому не можем утверждать, что матрица, предельная для есть матрица, полученная при разложении X в произведение треугольных. Соответственно не будем действовать так, как в (6.9), а напишем

так что

Далее имеем

так что матрицы стремятся к пределу, который мы назовем Теперь

и, следовательно, матрицы стремятся к тому же пределу, что и Этот предел необходимо будет треугольной матрицей, так как при всех матрицы треугольные. Ее диагональными элементами должны быть собственные значения расположенные в некотором порядке, так как по (8.5) она подобна

Заметим, что на это доказательство не влияют ни присутствие кратных собственных значений, ни обращение в нуль некоторых главных ведущих миноров Собственные значения не обязательно располагаются на диагонали предельной матрицы в убывающем порядке. Снова

существует опасность, что в случае, когда точные вычисления вели бы к предельной матрице с неправильно упорядоченными собственными значениями, влияние ошибок округления может привести к очень медленной сходимости к треугольной матрице, собственные значения которой упорядочены правильно.