Преобразования эквивалентности
15. Мы видели, что собственные значения матрицы инвариантны по отношению к преобразованиям подобия. Рассмотрим сейчас кратко более широкий класс преобразований. Назовем матрицу В эквивалентной матрице А, если существуют неособенные (обязательно квадратные) матрицы
Р и Q такие, что
Заметим, что 
не обязательно должны быть квадратными, но они должны быть одинаковых размеров. Из теоремы об определителе произведения двух прямоугольных матриц (иногда известной как теорема Бине — Коши; см., например, Гантмахер, 1967) следует, что эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг.
Отношение эквивалентности, которое мы сейчас рассмотрели, существенно при решении систем линейных уравнений. Действительно, если х удовлетворяет уравнению
то ясно, что х удовлетворяет и уравнению
при любой матрице 
Если, далее, 
неособенная, то любое решение (15.3) есть решение (15.2), что можно увидеть, умножая (15.3) на 
Теперь рассмотрим замену переменных
где 
неособенная. Тогда
и из любого решения у (15.5) можем получить решение 
и обратно. Уравнения (15.2) и (15.5) могут быть, следовательно, рассмотрены как эквивалентные.
