Комплексно сопряженные собственные векторы

57. Вычисление комплексных собственных векторов вещественных матриц особенно интересно с точки зрения анализа ошибок. Предположим, что комплексное собственное значение, соответствующий ему комплексный собственный вектор, и мы имеем приближение Обратные итерации могут быть проведены несколькими способами.

(i) Мы можем вычислить последовательность комплексных векторов вида

где все вычисления проведены с использованием комплексных чисел. Вообще говоря, стремятся к комплексному собственному вектору.

(ii) Мы можем работать лишь с вещественной арифметикой следующим образом. Положим и приравняем

вещественные и мнимые части в первом из уравнений (57.1). Это дает

что можно записать в виде

Мы получили систему вещественных уравнений с переменными.

(iii) Из уравнений (57.2) и (57.3) мы можем вывести уравнения

Матрица в обеих этих системах уравнений одинакова; она вещественная и имеет порядок Следовательно, требуется лишь одно разложение вещественной матрицы порядка в произведение двух треугольных.

(iv) Векторы могут быть определены или решением (57.5) с использованием (57.2), или решением (57.6) с использованием (57.3).

Если не является точным собственным значением, то ни одна из матриц, встречающихся в этих четырех способах, не будет особенной. Каждое решений единственно, и все они идентичны. Если они на практике отличаются, то это результат ошибок округления. Замечательно, что методы дают сходимость к комплексному собственному вектору, нет!

58. Прежде чем провести анализ ошибок, определим собственные векторы, соответствующие различным уравнениям.

Матрица как матрица в поле комплексных чисел, имеет собственные значения и соответствующие собственные векторы Если X стремится к то первое собственное значение стремится к нулю, а второе — нет. Следовательно, ранг вообще говоря, равен

Матрица полином от А и, следовательно, также имеет собственные векторы соответствующие собственным значениям Если X стремится к то оба эти собственных значения стремятся к нулю, и следовательно, вообще говоря, ранг равен и она имеет два линейно независимых собственных вектора

Возвращаясь к матрице из (57.4), мы непосредственно проверяем, что

Следовательно, имеет четыре собственных значения и четыре соответствующих линейно независимых

собственных вектора. Имеем

что показывает, что имеет два нулевых собственных значения, которым соответствуют два линейно независимых собственных вектора следовательно, ранг равен