Плохо обусловленные матрицы, которые дают немалые ведущие элементы

66. Можно было бы думать, что если нормированная матрица А очень плохо обусловлена, то при треугольном разложении с выбором главного элемента это должно обнаружиться появлением очень малого ведущего элемента. Можно рассуждать, что если А — вырожденная и если разложение было выполнено точно, то один из ведущих элементов обязательно должен быть нулевым, и следовательно, если А плохо обусловлена, то один из ведущих элементов должен быть мал.

К сожалению, это совсем неверно даже тогда, когда А — симметричная (это был бы благоприятный случай, так как все равны единице). Рассмотрим матрицу, имеющую собственные значения

Такая матрица почти вырождена в том смысле, что точно вырожденная. Но произведение из ведущих элементов равно произведению собственных значений, и поэтому

Если все ведущие элементы были равны, то каждый из них приблизительно равен 0,1, и мы, конечно, не можем рассматривать их как патологически малые. Может показаться, что это доказательство искусственно, но в гл. 5, § 56 мы увидим, что такие примеры могут действительно появиться. Это явление может возникнуть не только в методе Гаусса с выбором главного элемента по столбцу, но и в методах Гивенса и Хаусхолдера.

Есть ряд признаков, которые могут появиться во время решения методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу системы уравнений нормированными и которые сразу укажут на ее плохую обусловленность. Это появление

(i) «малого» ведущего элемента,

(ii) «большого» численного решения,

(iii) «большого» вектора-невязки.

К сожалению, можно построить патологически плохо обусловленные системы уравнений, у которых нет ни одного из этих признаков. Работая с -разрядной арифметикой, мы могли бы вполне получить решение, имеющее элементы порядка единицы и поэтому обязательно имеющее невязку порядка но которое тем не менее было бы неверно даже своих старших разрядах.