Исчерпывание матрицы

22. Вообще говоря, если стал малым, он будет быстро уменьшаться. Начиная с некоторого места, в соответствии с точностью вычислений, его можно рассматривать как нуль, и тогда текущее значение будет собственным значением. Остальные собственные значения являются собственными значениями ведущей главкой подматрицы порядка Эта матрица также формы Хессенберга, так что мы можем продолжать тот же процесс, работая с матрицей порядка на единицу меньше исходной. Так как мы ожидаем, что все поддиагональные элементы стремятся к нулю, может быть уже достаточно малым, и в этом случае мы в качестве следующего значения можем взять

Продолжая таким образом, мы можем по очереди найти все собственные значения, работая с матрицами, порядок которых последовательно уменьшается. Сходимость на последних стадиях к каждому собственному значению будет, вообще говоря, квадратичной и, более того, можно ожидать, что когда предыдущее собственное значение найдено, у нас имеется хорошее начало для отыскания следующего.

Этот метод исчерпывания очень устойчив. По существу, собственные значения могут быть серьезно искажены, только если они чувствительны по отношению к возмущениям поддиагональных элементов. Так как мы предполагаем, что исходная матрица Хессенберга получена в результате приведения полной матрицы А, то при собственных значениях, чувствительных к малым ошибкам в поддиагональных элементах, мы уже до начала LR-процесса потеряли точность. Единственная дополнительная опасность состоит в том, что обусловленность может последовательно ухудшаться. Мы обсудим это в § 47, когда будем сравнивать LR- и QR-алгорифмы.