Теорема разделения

47. В качестве дальнейшей иллюстрации теоремы минимакса докажем, что собственные значения главного минора матрицы разделяют собственные значения Яд матрицы А. (Этот результат был доказан в § 41 аналитическими методами для нижнего главного минора порядка ; ясно, что это верно для всех:

главных миноров порядка что можно легко увидеть, применив преобразование подобия с матрицами перестановок.)

Множество значений для всех нормированных векторов размерности совпадает с множеством значений для нормированных векторов размерности при условии Следовательно,

Это максимальное значение будет достигаться при некотором выборе При этом выборе есть максимальное значение при линейных соотношениях второй строки (47.1). Однако это минимальное значение для максимума при любых соотношениях. Следовательно,

Теперь рассмотрим любой выбор векторов Обозначим максимальное значение для нормированных х, удовлетворяющих соответствующим линейным соотношениям, через Пусть максимум при дополнительном условии обозначен через Тогда, очевидно,

и, следовательно,

что

Вся теория последних шести параграфов немедленно распространяется на эрмитовы матрицы; результаты и доказательства получаются заменой значка на всюду, где он встречается.