Элементарные преобразования подобия

40. Приведение матрицы общего вида к одной из канонических форм, или к одной из специальных форм обычно проводится последовательным применением простых преобразований подобия. Мы уже рассмотрели в § 17 матрицы некоторых элементарных преобразований, но здесь удобно несколько обобщить их и ввести стандартные обозначения, которыми мы будем пользоваться во всей книге. Мы будем называть элементарными преобразованиями преобразования с любой из элементарных матриц, которыми являются:

(i) Матрицы отличающиеся от единичной лишь строками и столбцами которые имеют вид

В частности, Очевидно, так что является своей обратной; она также ортогональна. При умножении слева на переставляются строки, а при умножении справа переставляются столбцы. Поэтому преобразование подобия с матрицей переставляет строки и столбцы.

(ii) Матрицы которых

где некоторая перестановка ( Эти матрицы называются матрицами перестановок. Заметим, что у матрицы перестановки каждая строка и каждый столбец содержат только один элемент, равный единице. Поэтому транспонированная матрица перестановки тоже является матрицей перестановки, и мы имеем

Каждая матрица перестановки может быть представлена в виде произведения матриц типа Умножение слева на переводит строку в строку, умножение справа на переводит столбец в столбец.

(iii) Матрицы отличающиеся от единичной лишь строкой, которая равна

При умножении А слева на из строки вычитаются остальные, умноженные на множители, причем множитель строки равен При умножении справа из каждого столбца вычитается столбец, умноженный на соответствующий множитель. Обратная матрица — матрица того же типа, у которой каждый элемент — заменен на Преобразование подобия матрицы А заключается в вычитании столбца, умноженного на соответствующие множители, из всех остальных столбцов и затем в прибавлении к строке всех остальных, умноженных на эти же множители. Заметим, что на первом шаге меняются все столбцы, кроме на втором меняется лишь строка.

(iv) Матрицы полученные транспонированием из матриц вида Столбец матрицы с номером записанный в виде строки, есть

Их свойства следуют из свойств с соответствующими изменениями

(v) Матрицы отличающиеся от единичной матрицы лишь строкой, которая равна

Очевидно, это которой нули.

(vi) Матрицы полученные транспонированием Очевидно, столбец, записанный в виде вектора-строки, есть

Следовательно, это у которой часть элементов — нули.

(vii) Матрицы отличающиеся от единичной лишь элементом, который равен Таким образом, является частным видом ранее рассмотренных матриц.