Равные по модулю собственные значения

32. Рассмотрим случай, когда имеет несколько равных по модулю собственных значений, но линейные элементарные делители. Будем предполагать, что все ведущие главные миноры не равны нулю, так как влияние того, что они обращаются в нуль, уже исследовалось. Имеем

Предположим, что а модули всех остальных собственных значений различны. Элемент в позиции под диагональю равен и поэтому стремится к нулю, если только не выполняется неравенство

и остается по модулю равным в противном случае.

В случае, когда все собственные значения, равные по модулю, равны и алгебраически, можно написать

где фиксированная единичная нижняя треугольная матрица, которая равна за исключением элементов в позициях равных где удовлетворяют (32.2). Если положить то имеем

где факторизация Следовательно, с точностью до обычного унитарного диагонального сомножителя, стремятся к матрице полученной при факторизации Заметим, что столбцы являются системой линейно независимых собственных векторов так как отличается от X только тем, что столбцы от до заменены своими линейными комбинациями. Следовательно, кратное собственное значение, которому соответствуют линейные элементарные делители, не препятствует сходимости.

Если равные по модулю собственные значения не равны между собой, то матрица имеет ту же форму, что и раньше, но ее отличные от нуля поддиагональные элементы меняются от шага к шагу.

Если к то имеем

Матрица совпадает с X, за исключением столбцов от до Эти столбцы являются линейными комбинациями соответствующих столбцов Следовательно, при -разложении все столбцы за исключением столбцов от до совпадают со столбцами унитарного сомножителя X, а столбцы от до являются линейными комбинациями соответствующих столбцов Следовательно, с точностью до столбцов от до матрицы в основном сходятся.

Наиболее важным является случай, когда вещественная матрица наряду с вещественными собственными значениями имеет несколько пар комплексно сопряженных собственных значений. Ясно, что, так же как в §§ 9, 10, мы можем показать, что матрицы в основном стремятся к верхней треугольной матрице, за исключением единственных поддиагональных элементов, связанных с каждой парой комплексно сопряженных собственных значений. Каждый такой элемент связан с матрицей второго порядка на диагонали, имеющей собственные значения, которые сходятся к соответствующей комплексно сопряженной паре.

Если мы имеем комплексных собственных значений, модули которых равны, то в пределе имеет на диагонали матрицу порядка собственные значения которой стремятся к этим значениям. В качестве простого примера рассмотрим матрицу вида

собственные значения которой равны . Она инвариантна по отношению к -алгорифму, и поэтому сама будет единственным диагональным блоком порядка). Такие блоки трудно различить при автоматической процедуре, особенно если размеры их заранее неизвестны. (См. § 47 о влиянии сдвига.)