Исчерпывание

19. Мы уже видели, что если А — вещественная и имеет вещественные собственные значения, то мы можем применить вещественный сдвиг и получить сходимость либо к либо к В случае комплексной матрицы мы можем в принципе, используя подходящий сдвиг, сделать доминирующими несколько собственных значений, но обычно это сделать очень трудно.

Естественно спросить, не можем ли мы использовать наше знание и таким образом, чтобы получить другой собственный вектор без опасности сходимости снова к Один класс таких методов состоит в перехода к матрице, обладающей теми же собственными значениями, кроме Будем называть такие методы методами исчерпывания.

Вероятно, простейший из них принадлежит Хотеллингу (1933). Он применим, если известны собственное значение и соответствующий ему собственный вектор симметричной матрицы Определим соотношением

Тогда из ортогональности собственных векторов имеем

Следовательно, собственные значения равны нулю, и соответствующие собственные векторы равны гак что доминирующее собственное значение превратилось в нуль.

Если несимметричная, то существует соответствующая техника исчерпывания, также принадлежащая Хотеллингу (1933), но она требует знания вместе с и левого собственного вектора Если оба они определены и нормированы так, что то, полагая

получим в силу биортогональности векторов

Оба эти метода исчерпывания имеют весьма плохую численную устойчивость, и я не рекомендую их использовать.