Теоремы Гершгорина
13. При этом новом подходе нам потребуются две теоремы, доказанные Гершгориным (1931).
Теорема 3. Любое собственное значение матрицы А лежит по крайней мере в одном из кругов с центрами 
и радиусами 
Доказательство весьма просто. Пусть X — любое собственное значение А. Тогда есть по крайней мере один ненулевой х такой, что
Предположим, что наибольший модуль имеет 
компонента х. Можно нормировать х так, что
где
Приравнивая 
компоненты (13.1), получим
Следовательно,
и X лежит в одном из наших кругов.
Вторая теорема дает более детальную информацию относительно распределения собственных значений по кругам.
Теорема 4. Если 
кругов теоремы 3 образуют связную область, изолированную от остальных кругов, то в этой связной области находится ровно 
собственных значений матрицы А.
Доказательство основано на понятии непрерывности. Положим
где С — матрица, недиагональные элементы которой равны соответствующим элементам А, а диагональные равны нулю, и определим величины 
соотношениями
Рассмотрим теперь матрицы 
для значений 
При 
это матрица 
а при 
матрица А. Коэффициенты характеристического полинома 
суть полиномы от 
, и по теории алгебраических функций корни характеристического полинома являются непрерывными функциями 
По теореме 3 при любом значении 
все собственные значения лежат в кругах с центрами 
и радиусами 
и если мы меняем 
непрерывно от 
до 1, все собственные значения меняются непрерывно.
Без ограничения общности мы можем считать, что именно первые 5 кругов образуют связную область. Тогда, так как остальные 
кругов с радиусами 
изолированы от кругов с
это же верно для соответствующих кругов с радиусами 
для всех 
из промежутка [0, 1). Но при 
собственные значения равны 
и первые 5 из них лежат в области, соответствующей первым 
кругам, а остальные лежат вне этой области. Отсюда следует, что это же верно для всех 8, включая 
вместо А.
