Приведение матрицы общего вида к трехдиагональному виду

49. Можно скомбинировать методы §§ 12 и 43 так, чтобы получить приведение матрицы общего вида А к трехдцагональному виду. Сначала используем метод § 12 для приведения А к верхней форме Хессенберга Я, используя перестановки. Он устойчив за исключением очень специальных случаев, и мы можем использовать арифметику с обычной точностью. Матрица имеет нижнюю форму Хессенберга, и мы можем использовать метод § 43 (или эквивалентный ему метод § 47) для получения такой трехдиагональной матрицы что

Следовательно, трехдиагональная матрица подобна А. Второе преобразование значительно менее устойчиво, и мы должны использовать арифметику с двойной точностью и учесть предосторожности, описанные в § 46. Приведение к трехдиагональному виду требует всего умножений с обычной точностью умножений с двойной точностью. По очевидной причине вторую часть процесса мы описали в терминах но так как единичной верхней треугольной матрице, первая строка которой

равна мы можем решать матричное уравнение

прямо относительно при помощи метода, аналогичного методу § 43, где строки и столбцы поменялись ролями.

Мы все время старались подчеркнуть, что приведение к трехдкагональному виду потенциально неустойчиво, но мы не хотим слишком обескураживать читателя. Например, на очень редко случалось, чтобы ведущие элементы достигали допуска Если приведение осуществлялось с двойной точностью, почти всегда было так, что ошибки, возникающие в этой части приведения, были значительно меньше ошибок, возникающих при приведении А к с обычной точностью. Поэтому на практике комбинированная техника весьма эффективна.