Критика модифицированного LR-алгорифма

27. Обсуждая комплексно сопряженные сдвиги, мы опустили вопрос перестановок. Точные вычисления не гарантируют, вообще говоря, что будет вещественной, если мы включим перестановки. Однако если мы будем использовать перестановки только при переходе от то

в обозначениях § 13 имеем

что

и умножение справа на показывает, что последнее произведение вещественное. К сожалению, мы не можем гарантировать, что перестановки не требуются при переходе от

Даже если мы ограничимся случаем, когда нет комплексно сопряженных собственных значений (а ситуации, когда это можно гарантировать редки), модифицированный алгорифм все же может быть подвергнут критике с точки зрения численной устойчивости. Как мы установили в главе 4, устойчивость разложения в произведение треугольных даже с использованием перестановок не может быть безусловно гарантирована. При предположении, что потребуется не более четырех итераций на одно собственное значение, число итераций при работе с матрицей 50-го порядка равно примерно 200. Нельзя пренебрегать опасностью роста наддиагональных элементов. (Диагональные элементы стремятся к собственным значениям, а поддиагональные к нулю). Опыт показывает, что потеря точности, вызванная этой причиной, довольно обычна.