Связь между жордановой и фробениусовой каноническими формами
14. Связь между двумя каноническими формами, вероятно, лучше всего проиллюстрировать на примере. Пусть матрица А десятого порядка имеет следующие элементарные делители?
Ее жорданову каноническую форму можно записать в виде
где мы сгруппировали жордановы подматрицы высшего порядка, соответствующие каждому собственному значению, в
следующего высшего порядка - в
Каждая матрица
следовательно, имеет только одну жорданову подматрицу, соответствующую каждому
и поэтому может быть приведена преобразованием подобия
к единственной матрице Фробениуса соответствующего порядка. В нашем примере
Следовательно,
Характеристический полином
равен
равен
и равен — X). Каждый из этих полиномов является делителем предшествующего, что следует из определения
и что остается справедливым в общем случае. Очевидно, что элементарные делители матрицы являются множителями в характеристических полиномах подматриц в канонической форме Фробениуса. Заметим, что если матрица А вещественна, то каждое комплексное собственное значение встречается как сопряженная пара. Следовательно, каждая
будет вещественная. Этого можно было ожидать, так как мы утверждали, что каноническая форма Фробениуса может быть получена преобразованиями, рациональными в поле А.