Связь между жордановой и фробениусовой каноническими формами

14. Связь между двумя каноническими формами, вероятно, лучше всего проиллюстрировать на примере. Пусть матрица А десятого порядка имеет следующие элементарные делители?

Ее жорданову каноническую форму можно записать в виде

где мы сгруппировали жордановы подматрицы высшего порядка, соответствующие каждому собственному значению, в следующего высшего порядка - в

Каждая матрица следовательно, имеет только одну жорданову подматрицу, соответствующую каждому и поэтому может быть приведена преобразованием подобия к единственной матрице Фробениуса соответствующего порядка. В нашем примере

Следовательно,

Характеристический полином равен равен и равен — X). Каждый из этих полиномов является делителем предшествующего, что следует из определения и что остается справедливым в общем случае. Очевидно, что элементарные делители матрицы являются множителями в характеристических полиномах подматриц в канонической форме Фробениуса. Заметим, что если матрица А вещественна, то каждое комплексное собственное значение встречается как сопряженная пара. Следовательно, каждая будет вещественная. Этого можно было ожидать, так как мы утверждали, что каноническая форма Фробениуса может быть получена преобразованиями, рациональными в поле А.