Симметричные матрицы

50. Другим классом матриц, к которым применимы LR- и -алгорифмы, являются симметричные ленточные матрицы. Рассмотрим сначала общие симметричные матрицы. Очевидно, что -алгорифм сохраняет симметричность, так как

но это, вообще говоря, неверно для -алгорифма. Это неприятно, так как симметрия ведет к значительной экономии вычислений.

Если положительно определенная, то мы можем модифицировать -алгорифм, используя симметричную факторизацию Холецкого (гл. 4, § 42). Обозначая так полученные матрицы через имеем

Очевидно, что симметрична и, так как она подобна она также

положительно определенная. Следовательно, процесс можно продолжать, и можно доказать, что

и

или

При этом не только вдвое уменьшается объем вычислений, но, как мы видели в гл. 4, §§ 43, 44, факторизация Холецкого обеспечивает высокую численную устойчивость и не требует перестановок. Если неположительно определенная, то факторизация Холецкого приводит к комплексным числам, и численная устойчивость не обеспечивается. При этом , вообще говоря, даже неэрмитова (просто комплексная симметричная), но она, конечно, имеет вещественные собственные значения, так как подобна Так, если