Комплексно сопряженные собственные значения
67. Рассмотрения предыдущего параграфа очевидным образом могут быть распространены на комплексные матрицы. В этом случае все вычисления производятся в поле комплексных чисел, но никаких существенно новых черт не появляется. Если мы имеем вещественную матрицу с одной или более комплексно сопряженной парой собственных значений, то естественно, что мы хотим работать в поле вещественных чисел как можно больше. Соответствующая техника хорошо иллюстрируется примером матрицы четвертого порядка с одной парой комплексно сопряженных собственных значений. Тогда мы имеем
где первые два столбца X суть вещественная и мнимая части вычисленного комплексного собственного вектора. Как и раньше, мы можем вычислить такую матрицу
что
причем
известна точно, и мы имеем оценки для элементов
До сих пор все элементы вещественны. Если
то
и
Центрами двух соответствующих кругов Гершгорина будут
и мы имеем исправленные собственные значения. Мы можем уменьшить радиус первого круга, как прежде, умножая первую строку на
и первый столбец на
По аналогии с (64.1) выберем теперь к так, чтобы