Общие замечания о явно заданных полиномах

7. Очевидно, что для расположения типа необходимо вычислять форму Фробениуса, используя арифметику с высокой точностью, если мы хотим, чтобы ее собственные значения были близки к собственным значениям исходной матрицы, из которой она получена. Это верно независимо от использованного метода. Далее, так как ошибки при вычислении соответствуют возмущениям коэффициентов, определяемым (2.6) и (2.7), вычисление нужно производить с той же высокой точностью.

Интересно, например, заметить, что вычисленные значения для расположения (i) § 5 обычно не будут иметь ни одной правильной значащей цифры при значениях z в окрестности если только не используется арифметика с высокой точностью. Для иллюстрации рассмотрим вычисление при с использованием 10 десятичных знаков в арифметике с плавающей запятой. На втором шаге схемы Горнера вычисляем

Точное значение равно , но если мы используем только 10 цифр, его надо округлить до —189,9965436. Даже если больше никаких других ошибок не будет сделано в дальнейшем, окончательная

ошибка, вызванная этим округлением, будет равна

Если мы для краткости напишем точное значение будет равно

и оно лежит между т. е. между (4,2) 1014 и (8,4) . Наша первая ошибка округления меняет вычисленное значение на величину, значительно превосходящую точное значение!

В окрестности плохо обусловленных корней вычисленные значения соответствующие монотонной последовательности z, могут быть совсем немонотонными.

Таблица 2 (см. скан)

Это иллюстрируется в табл. 2, где приводятся вычисленные значения полинома для значений z в окрестности 10. Включение члена в последние четыре значения z было необходимо для того, чтобы ошибки округления были типичными, ибо иначе z оканчивалось бы большим количеством нулей. Значения полинома вычислялись по его точному явному представлению с использованием арифметики с плавающей запятой с мантиссой в 46 двоичных знаков. (Мы не использовали , так как при выбранном числе значащих цифр этот полином не может быть записан точно.)

Для значений z от 10 и приблизительно до все вычисленные значения порядка единицы по абсолютной величине и никак не связаны с точными значениями. Это происходит потому, что вычисленные значения полностью определяются ошибками округления, которые, как мы видели в (2.13), эквивалентны возмущениям коэффициентов порядка вплоть до Для значений z, более удаленных от 10, мы получаем несколько правильных значащих цифр. Действительно, если порядка то, вообще говоря, вычисленное значение имеет приблизительно 20 — к правильных значащих цифр, хотя, конечно, исключительно благоприятное округление может дать значительно лучшее значение. Трудно ожидать, что какой-либо итерационный метод, основанный на значениях, вычисленных по явно заданному полиному с использованием -значной мантиссы, выделит нуль при с ошибкой, меньшей