Эрмитовы и симметричные матрицы

22. Как мы увидим в § 31, симметричные матрицы с вещественными элементами играют особо важную роль на практике. Мы могли бы расширить этот класс, включив в него все симметричные матрицы с комплексными элементами. Однако можно доказать, что такое расширение мало ценно, так как матрицы такого расширенного класса не обладают многими важными свойствами вещественных симметричных матриц. Наиболее используемым расширением является расширение до класса матриц вида где вещественная и симметричная, вещественная и кососимметричная, т. е.

Матрицы этого класса называются эрмитовыми матрицами. Если А — эрмитова матрица, то мы имеем по определению

где А обозначает матрицу с элементами, комплексно сопряженными элементам А. Матрица часто обозначается и называется эрмитово сопряженной или просто сопряженной матрицей. Аналогично это вектор-строка с элементами, комплексно сопряженными элементам вектора-столбца х. Такое обозначение удобно тем, что результаты, доказанные для эрмитовых матриц, могут быть переформулированы в соответствующие результаты для вещественных симметричных матриц заменой на и на Если а — скаляр, по определению есть комплексно сопряженное с а число. Из определения немедленно следует, что

и

если А — эрмитова.

Заметим, что есть скалярное произведение у и х и обычном смысле и

Скалярное произведение вещественно и положительно для всех х, отличных от нулевого вектора, так как оно равно сумме квадратов моду лей компонент вектора х.