Численная устойчивость

21. Пока мы рассмотрели лишь возможность несостоятельности процесса исключения. Однако если посмотреть теперь на этот факт с точки зрения вычислений, то процесс, вероятно, должен быть численно неустойчив, если какой-либо из множителей велик. Чтобы преодолеть это, мы можем заменить на устойчивую матрицу описанную в гл. 3, § 47. На основном шаге мы умножаем на где определяется соотношением

Если определяется таким образом не единственно, мы берем наименьшее из его возможных значений.

Левое умножение на приводит к перестановке строк а последующее левое умножение на к вычитанию кратного новой строки по очереди из каждой строки от до причем все множители ограничены по модулю единицей. Отметим, что строки с 1-й до остаются на шаге без изменения, и сохраняются нули, полученные на предыдущих шагах. Для модифицированной процедуры имеем

где по-прежнему вида (18.2).

Устойчивый метод единственным образом определяется на каждом шаге, если только в начале шага не все равны нулю. Тогда наше правило дает но множители не определены. Мы можем взять и в этом случае шаг пропускается, что допустимо, так как уже треугольная в первых столбцах. Как и в неустойчивом методе, это может случиться лишь тогда, когда первые столбцов А о линейно зависимы. Устойчивый процесс исключения обычно называется методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Заметим, что он осуществляется при всех обстоятельствах, а при условиях, которые мы описали, к тому же единственным образом. Если уравнения несовместны, то это станет ясно при обратной подстановке.