Произвольные симметричные матрицы

43. Если А — симметричная, но не положительно определенная, то треугольное разложение без перестановок может не существовать. Простой пример иллюстрируется матрицей

Даже если треугольное разложение существует, оно не будет вида с вещественной невырожденной потому что для таких матрица обязательно положительно определенная. Однако если треугольные разложения все же существуют, то будут существовать и разложения вида если мы допустим использование комплексной арифметики. Интересно отметить, что каждый столбец или целиком вещественный или целиком чисто мнимый, так что можем написать

где вещественная, диагональная матрица, каждый элемент которой равен 1 или Доказательство опять по индукции и почти не отличается от доказательства § 42. Значение снова вещественное, но может быть отрицательным.

Мы можем избежать использования мнимых величин, если заметим, что

Здесь матрица диагональная, элементы которой равны ±1, и если напишем

то это дает треугольное разложение где каждый столбец равен или соответствующей строке или той же строке с элементами, знаки которых изменены на обратные. Мы можем связать знаки матрицы таким образом, чтобы все диагональные элементы были положительны. Тогда обе матрицы полностью определяются матрицей Если, например,

Нельзя с полной уверенностью утверждать, что симметричное разложение неположительно определенной матрицы с точки зрения численной устойчивости не имеет ничего общего со случаем положительно определенной матрицы. Но чтобы быть уверенными в устойчивости, мы должны использовать перестановки, а это нарушает симметрию. Хотя выбор наибольшего диагонального элемента сохраняет симметрию, он не гарантирует устойчивости.