Исчерпывание, основанное на преобразованиях подобия

20. Рассмотрим исчерпывание, основанное на преобразованиях подобия Пусть любая неособенная матрица такая, что

где, очевидно, 0. Имеем

Уравнения (20.1) и (20.2) дают

и, следовательно, первый столбец равен Полагая

получим, что матрица порядка имеет, очевидно, собственные значения Для того чтобы найти следующее собственное значение мы можем работать с Если соответствующий собственный век гор обозначить через то, полагая

пол учим

и окончательно из (20.4)

Таким образом, зная собственный вектор мы можем определить соответствующий собственный вектор

После того как мы нашли собственный вектор матрицы мы подобным образом можем определить так, что

Тогда

где матрица порядка, собственные значения которой равны По собственному вектору матрицы мы можем определить собственный вектор матрицы затем вектор матрицы наконец, вектор матрицы Продолжая этот процесс, можем получить все собственные значения и собственные векторы Если мы обозначим

то

где суть верхняя треугольная матрица с диагональными элементами имеет собственные значения, равные

Последовательное исчерпывание дает, следовательно, приведение к треугольному виду с помощью преобразований подобия (гл. 1, §§ 42, 47).