Общие замечания об обусловленности матриц

11. Важно заметить, что нормированная несимметричная матрица может быть очень плохо обусловленной, не имея малых собственных значений. Например, система уравнений порядка 100

для первой компоненты своего решения имеет

Следовательно, норма матрицы, обратной к матрице коэффициентов, будет, конечно, больше чем 1022. Несмотря на это, ее наименьшее собственное значение есть 0,501. Эта матрица должна иметь главное значение порядка

С другой стороны, наличие малого собственного значения нормированной матрицы обязательно означает плохую обусловленность, так как

Однако наличие малого необязательно означает плохую обусловленность. Это иллюстрируется матрицей (26.6) из главы 2. Она имеет порядка но ее обратная матрица такова:

Обращаясь к матрицам с нелинейными делителями, мы видим на примере матрицы

что их присутствие не обязательно означает плохую обусловленность. С другой стороны, если мы заменим все диагональные элементы матрицы (11.1) на 0,500, то она станет еще более плохо обусловленной и будет иметь элементарный делитель степени 100.

Эти примеры показывают, что хотя обусловленности матрицы в отношении проблемы собственных значений и в отношении обращения имеют совсем различное содержание, все же они в некотором смысле связаны.