Каноническая (рациональная) форма Фробениуса

13. Матрица называется неполной, если с при некотором связана более чем одна жорданова подматрица (и поэтому более чем один собственный вектор). Мы видели, что неполная матрица не может быть подобна сопровождающей матрице своего характеристического полинома. Найдем для неполных матриц каноническую матрицу, аналогичную сопровождающей матрице.

Определим матрицу Фробениуса порядка

Фундаментальная теорема для матриц общего вида может быть сформулирована так.

Каждая матрица преобразованием подобия может быть приведена к прямой сумме матриц Фробениуса, которые можно обозначить Характеристический полином каждой делит характеристические полиномы всех предыдущих В случае полной матрицы Прямая сумма матриц Фробениуса называется канонической формой Фробениуса (или рациональной). Наименование рациональной канонической формы возникло из того факта, что она может быть получена преобразованиями, рациональными в поле элементов А

Мы не будем давать прямое доказательство существования канонической формы Фробениуса, но укажем ее связь с жордановой канонической формой. Это не проиллюстрирует рациональную природу преобразования, так как операции, дающие жорданову форму, вообще говоря, иррациональны в поле А.