Разложение с плавающей запятой без выбора главного элемента

30. В табл. 3 мы приводим простой пример, иллюстрирующий катастрофическую потерю точности, которая может стать следствием недостаточной величины ведущего элемента. Рассматриваемая матрица очень хорошо обусловлена, но малая величина ведущего элемента неизбежно влияет на точность. Использовалось вычисление с плавающей запятой, так как элементы матриц имеют большой разброс.

Таблица 3 (см. скан)

Первый ведущий элемент очень мал, и в результате этого будут порядка 105. Соответственно и вычисленные элементы и также очень велики. Если мы рассмотрим вычисление то получим

Точное значение — таково: , и величина есть разность между вычисленным и точным значениями. Заметим, что при вычислении не учитываются почти все знаки в а; мы получили бы то же самое численное значение для любого элемента лежащего в пределах от 0,45 до 0,549999.

В табл. 3 даны уравнения с эквивалентным возмущением. Отсюда видно, что возмущенные второе и третье уравнения не имеют никакого отношения к исходным. Легко проверить, что решение этой системы уравнений сильно отличается от решения исходной системы.

Мы показали также второй основной шаг вычислений. Заметим, что большие элементы, которые появлялись в третьем уравнении в результате первого шага, исчезают на втором шаге. Однако очевидно, что почти все знаки, приведенные в вычисленном неверные. Значение определителя, данное произведением также очень неточно, так как имеет самое большее один верный знак.