Очень плохо обусловленные матрицы

33. Собственные значения, соответствующие нелинейным элементарным делителям, нужно, рассматривать, вообще говоря, как плохо обусловленные, хотя следует помнить рассмотрения § 26. Однако мы не должны думать, что это главная форма плохой обусловленности. Даже если собственные значения различны и хорошо отделены друг от друга, они все же могут быть очень плохо обусловлены. Это хорошо иллюстрируется следующим примером.

Рассмотрим матрицу А 20-го порядка вида

Это треугольная матрица, и поэтому ее собственными значениями являются ее диагональные элементы. Если добавить элемент к элементу в позиции (20,1), то характеристическое уравнение будет

Мы видели в § 9, что при достаточно малых 8 возмущение собственного значения не содержит дробных степеней и если мы напишем

то из (33.2) очевидно, что

Эта постоянная велика при каждом значении Наименьшие по модулю величины — а наибольшие — На самом деле,

Величины так велики, что линеаризованная теория приложима лишь при очень малых Для собственные значения помещены в табл. 1, причем они размещены так, что видна симметрия вокруг значения 10,5.

Таблица 1 (см. скан)

Собственные значения возмущенной матрицы

34. Изменения собственных значений, соответствующие этому единственному возмущению, так же велики, как и изменения собственных значений при аналогичном возмущении, хотя последняя матрица имеет один элементарный делитель десятого порядка. Тот факт, что возмущения в конечном счете имеют порядок для первой и порядок для второй при , не становится существенным до тех пор, пока мы не рассматриваем возмущения, значительно меньшие, чем

Малая устойчивость собственных значений матрицы (33.1) показывает, что должны быть малыми. На самом деле, собственный вектор матрицы А, соответствующий имеет компоненты

а компоненты равны

Эти векторы не нормированы по -норме, но дает хорошую оценку величины Мы имеем на самом деле

и обратная величина от правой части (34.3) в точности есть из уравнения (33.4). Заметим, что соответствующие собственные векторы почти ортогональны. Хотя строгая ортогональность возможна лишь при нелинейных делителях, мы можем, очевидно, подойти очень близко к ней, даже когда матрица имеет хорошо отделенные собственные значения.

Можно ожидать, что существует матрица, близкая к А и имеющая нелинейные элементарные делители. Легко можно проверить, что это верно. В самом деле, мы можем построить такую матрицу возмущением элемента в позиции (20,1). Соответствующие возмущению 8 собственные значения являются корнями уравнения (33.2). Функция в левой части этого уравнения симметрична относительно и имеет 9 максимумов и 10 минимумов. Если мы увеличиваем начиная с нуля, то корни 10 и 11 двигаются навстречу друг другу и обязательно совпадут на 10,5 при

что дает для 8 приблизительно Соответствующий элементарный делитель должен быть квадратичным, так как возмущенная матрица имеет ранг 19 при любых X, так как матрица 19-го порядка в верхнем правом углу имеет минор, равный . Если увеличивать дальше, то корни 8 и 9 и 12 и 13 начнут двигаться навстречу друг другу, и из симметрии они совпадут при некотором значении Матрица при этом имеет два двойных собственных значения, и каждому соответствует квадратичный элементарный делитель. Дальнейшее увеличение 8 ведет к совпадению корней 6 и 7, 14 и 15 соответственно и т. д.

35. Все собственные значения матрицы, которую мы рассмотрели, были плохо обусловлены, хотя некоторые были хуже обусловлены, чем другие. Сейчас мы дадим пример множества матриц, каждая из которых имеет собственные значения с широко меняющейся обусловленностью. Это матрица класса вида

Наибольшее собственное значение этой матрицы очень хорошо обусловлено, а наименьшее очень плохо. При первые несколько порядка единицы, а последние три порядка При увеличении наименьшие собственные значения становятся все более плохо обусловлены.

То, что некоторые из собственных значений должны быть очень чувствительны к малым изменениям некоторых матричных элементов, видно из следующего рассмотрения. Определитель матрицы равен единице при всех как можно показать простыми операциями со строками матрицы. Если элемент в позиции заменен на то определитель будет

Если определитель изменится от 1 до что равно приблизительно Но определитель матрицы равен произведению ее собственных значений. По крайней мере одно собственное значение возмущенной матрицы должно быть сильно отлично от собственного значения исходной. При возмущение, меньшее элемента в позиции (1,12), приводит к появлению квадратичного делителя.

Плохая обусловленность того типа, который мы сейчас обсудили, на наш взгляд гораздо более важна, чем плохая обусловленность, связанная с нелинейными элементарными делителями. Матриц, имеющих в точности нелинейные элементарные делители, почти не существует на практике. Даже в теоретических работах это главным образом матрицы специального вида, обычно с небольшими целыми коэффициентами. Если элементы таких матриц иррациональны или не могут быть представлены на применяемой цифровой вычислительной машине точно, ошибки округления обычно приводят к матрице, уже не имеющей нелинейных элементарных делителей. С другой стороны, матрицы с некоторыми малыми весьма часто встречаются.