Различные собственные значения
4. Общая теория проблемы собственных значений наиболее проста, когда все 
собственных значений различны, и мы сначала рассмотрим этот случай. Обозначим собственные значения через 
Уравнение (2.2) всегда имеет по крайней мере одно решение для каждого значения и поэтому мы можем предполагать существование системы собственных векторов, которые мы обозначим через 
Покажем, что каждый из этих векторов единствен с точностью до произвольного множителя.
Сначала мы покажем, что эти векторы должны быть линейно независимыми. Действительно, пусть это не так, и пусть 
наименьшее число линейно зависимых векторов, которые мы занумеруем как 
По нашему предположению, между ними существует соотношение вида
3 котором все 
не равны нулю. Ясно, что 
так как по определению все 
ненулевые векторы. Умножая (4.1) слева на А, получаем
Умножая уравнение (4.1) на 
и вычитая (4.2), получим
причем ни один коэффициент в этом соотношении не равен нулю. Уравнение (4.3) означает, что 
линейно зависимы, что противоречит нашей гипотезе. Поэтому 
собственных векторов линейно независимы, и все 
-мерное пространство натянуто на них. Следовательно, они могут быть использованы в качестве базиса для представления произвольного вектора.
Отсюда единственность собственного вектора следует немедленно. Действительно, если существует второй собственный вектор 
соответствующий мы можем написать
где по крайней мере одно из 
не равно нулю. Умножение (4.4) на А дает
Умножая (4.4) на 
и вычитая из (4.5), получаем
и так как 
линейно независимы,
что
Поэтому ненулевым 
должен быть 
и значит, пропорционален
Аналогично мы можем показать, что собственные векторы 
единственны и линейно. независимы. Но мы раньше доказали, что
так что эти две системы векторов образуют биортогоналъную систему. Кроме того, имеем
так как если 
был бы ортогонален 
он был бы ортогодален к 
следовательно, ко всему 
-мерному пространству, а это невозможно, так как 
ненулевой вектор.
Уравнения (4.8) и (4.9) дают нам возможность получать явное выражение произвольного вектора и через 
или 
Действительно, если мы напишем
то
Следовательно,
причем деление возможно, так как знаменатель не равен нулю.
