Уравновешенные матрицы

5. Ортогональная матрица не только нормирована, но и все ее строки и столбцы единичной длины. Очевидно, что это неверно для нормированных матриц вообще. Предположим, что мы умножаем столбец ортогональной матрицы А на и получаем матрицу В. Матрица будет единичной матрицей, за исключением ее диагонального элемента, который равен следовательно, Обратная матрица от В есть с ее строкой, умноженной на . Следовательно, есть диагональная матрица с единичными элементами, за исключением

диагонального элемента, который равен . Поэтому и

Мы получим тот же результат, если умножим любую строку ортогональной матрицы на

Матрица, у которой каждая строка и столбец имеют длину порядка единицы, будет называться уравновешенной матрицей. Мы не будем использовать этот термин в очень точном смысле, тем не менее наиболее естественно рассмотреть матрицу, у которой каждый элемент меньше единицы и все строки и столбцы нормированы так, что по крайней мере модуль одного элемента находится между 1/2 и 1. Чтобы избежать ошибок округления при нормировании, обычно используют степени 2 или 10. Если матрица симметричная, то выгодно сохранить симметрию при нормировании и, следовательно, нужно удовлетворить требованию, чтобы каждый столбец содержал элемент, по модулю больший чем 1/4. Если любая строка или столбец уравновешенной матрицы А умножается на то полученная матрица В должна иметь очень большое число обусловленности. Наибольшее собственное значение матрицы больше наибольшего ее диагонального элемента, а ее наименьшее собственное значение меньше наименьшего диагонального элемента. Следовательно, больше чем меньше чем так что

Заметим, что этот результат верен независимо от того, каким может быть число обусловленности А.

6. Естественно спросить, действительно ли матрица В, полученная из хорошо обусловленной матрицы А, «плохо обусловлена». Трудность ответа на этот вопрос заключается в том, что термин «плохо обусловленная» используется как в общепринятом, так и в точно определенном математическом смысле. Если мы определяем к как число обусловленности матрицы, то без сомнения измененная ортогональная матрица из § 5 очень «плохо обусловлена». Однако в общепринятом смысле мы говорим, что система уравнений плохо обусловлена, если вычисленное решение имеет небольшую практическуюценность. Мы не можем решить, плохо ли обусловлены уравнения, безисследования пути получения коэффициентов.