Априорные оценки ошибок

49. Мы видели, что для некоторых алгорифмов, основанных на унитарных преобразованиях, можно предполагать возможность получения априорной оценки для возмущения в исходной матрице, которое эквивалентно ошибкам, сделанным при вычислении. Это не дает нам, вообще говоря, априорных оценок для ошибок в тех величинах, которые мы хотим вычислить, хотя в случае подобных преобразований симметричных матриц можно воспользоваться результатами главы 2, если требуемые величины являются собственными значениями. Но даже и в этом очень благоприятном случае мы не можем получить априорные оценки для ошибок в собственных векторах. Однако априорные оценки для эквивалентных возмущений в исходной матрице имеют большое значение при сравнении алгорифмов.

Мы найдем, что наиболее эффективные оценки, которые сможем получить для эквивалентного возмущения, имеют вид

где k — какая-то константа, обычно меньшая трех. Такие оценки, как правило, можно получить лишь для алгорифмов, основанных на унитарных преобразованиях. Для устойчивых элементарных неунитарных преобразований обычно достаточно трудно получить даже оценки вида

хотя для конкретных методов существуют основания верить в то, что множитель может быть достигнут лишь при крайне неблагоприятных условиях. Для неустойчивых неунитарных преобразований даже оценки вида (49.2) нельзя получить. Действительно, как правило, будут существовать обстоятельства, вообще не имеющие отношения к плохой обусловленности исходной задачи, при которых такие преобразования будут полностью нарушаться из-за деления на нуль.