Ошибка в произведении приближенных плоских вращений

25. До сих пор мы рассматривали лишь левые умножения и неподобные преобразования. Прежде чем распространить наш результат, заметим, что эти односторонние преобразования имеют и самостоятельный интерес. В следующей главе мы рассмотрим приведение квадратной матрицы к треугольной форме левыми умножениями на элементарные ортогональные матрицы. Результат § 24 немедленно применяется к этим вычислениям.

В проблеме собственных векторов нам будет нужно вычислять произведение последовательности приближенных плоских вращений и будет интересно оценить отклонение вычисленного произведения от ортогональной матрицы. Беря в (24.1), имеем

где вычисленное произведение; матрица точно ортогональная. Если мы обозначим столбцы

соответственно через то, так как каждый столбец матрицы I преобразуется независимо, применение (23.20) показывает, что

и следовательно,

Итак, если мы напишем

то

Это неравенство дает оценку отклонения столбца от столбца ортогональной матрицы. Например, если мы имеем

и, следовательно, вычисленное произведение 100 приближенных вращений будет, конечно, ортогональной матрицей с точностью восемь десятичных знаков. Статистические соображения показывают, что оно будет ортогональной матрицей с точностью около десяти знаков.