Строгое обоснование итерационного метода

74. Мы всегда считали, что при включении дополнительных проверок, о которых упоминали (вероятно, даже и без них), сходимость итераций гарантирует их сходимость к точному решению и требование дальнейшего доказательства является излишним педантизмом.

Однако, если мы не хотим этого делать, мы должны получить верхнюю оценку для Иногда такая оценка может быть получена априори из теоретических соображений. В противном случае можем использовать треугольные матрицы для того, чтобы получить вычисленную обратную матрицу X и затем получить оценку для так же, как в § 64 с помощью вычисления Если оценка для обеспечивает выполнение (73.1), то мы знаем, что итерационный процесс должен сходиться к правильному решению. Иначе мы заключаем, что А слишком плохо обусловлена, для того чтобы проводить вычисления с данной точностью.

Заметим, что, имея вычисленную X, мы можем использовать другой итерационный процесс, в котором вычисляем поправку как произведение а не из решения анализировал этот процесс (Уилкинсон, 1963b, стр. 128—131) и показал, что он менее удовлетворителен, чем процесс из § 67, а оба процесса требуют приблизительно одного и того же числа умножений. Мы видим, что для того, чтобы получить только верхнюю оценку для необходимо выполнить очень большую работу.

75. Существует сравнительно экономичный путь вычисления верхней оценки хотя он может быть очень пессимистичным. Положим

где диагональные, соответственно строго нижняя и верхняя треугольные матрицы. Тогда, если х есть решение уравнения

где вектор с единичными компонентами, то

Из § 62 знаем, что вычисленное решение (75.2) имеет компоненты с малыми относительными ошибками, и, следовательно, оно дает нам надежную оценку для