Теорема Островского о непрерывности собственных значений

2. Верхние границы Возмущений собственных значений были даны Островским (1957) в следующем виде.

Пусть матрицы, элементы которых удовлетворяют соотношениям

Тогда, если X — собственное значение то существует собственное значение X матрицы А такое, что

Кроме того, собственные значения матриц могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие так, что

Хотя эти результаты имеют большую теоретическую важность, они имеют малую практическую ценность. Предположим, что мы имеем матрицу А 20-го порядка с иррациональными элементами, удовлетворяющими соотношениям

Рассмотрим матрицу полученную округлением элементов А до десяти десятичных знаков, так что

где верхняя граница достижима. Из второго результата Островского

Эта граница значительно хуже, чем граница, которую можно получить из простой теории норм. Действительно,

и, следовательно,

Результаты Островского улучшают результаты, получаемые с помощью простой теории норм, только тогда, когда

что дает

Для это означает, что должно быть меньше Для получения полезных границ из результатов Островского число должно быть значительно меньше даже этого.

Очевидно, что множитель является главной слабостью результата Островского. Однако, как показывают примеры Форсайта, его присутствие неизбежно в любом общем результате. Рассмотрим, например, жорданову подматрицу порядка которой собственных значений равны а. Если мы заменим нулевой элемент в позиции на то характеристическое уравнение будет

что

для собственных значений, где — любой примитивный корень степени из единицы.