Левое умножение на приближенную матрицу отражения
42. По аналогии с исследованием плоских вращений нам теперь нужна оценка для
Очевидно, что левое умножение оставляет первые 
строк А неизменными, а последние 
строк умножаются на 
(или на 
с ошибками округления). Поэтому матрица ошибок (42.1) нулевая в своих первых 
строках, и, не теряя общности, можно рассматривать левое умножение матрицы А из 
строк и 
столбцов на матрицу 
имеющую для своего соответствующего 
вектор порядка 
с ненулевыми компонентами.
Мы берем 
в факторизованной форме 
так что неравенства § 39 и (40.3) удовлетворяются. Имеем
Итак, нам нужна оценка для матрицы 
которая является матрицей ошибок, действительно возникающих при левом умножении. Заметим, что оценка ошибки, которую мы дали в (9.14), неприменима к вычислению 
так как для экономии объема вычислений 
используется в факторизованной форме. Для того чтобы подчеркнуть тот факт, что мы имеем дело лишь с ошибками, сделанными при левом умножении, введем 
определенные равенствами
так что
и
43. Мы можем выделить этапы в вычислении точного 
и приближенного 
следующим образом:
Поэтому 
компонента 
дается равенством
где из (9.2) и (9.5) имеем заведомо
Следовательно,
где
Отсюда
Итак,
и, принимая во внимание предположение (5.2), что 
мы можем написать
Для компоненты 
матрицы В справедливы соотношения
Если мы определим 
равенством
то
Следовательно,
поэтому
откуда выводим
44. Теперь нам нужны оценки для каждого члена правой части через 
Из (43.1) и (40.3) вытекает
из
из
Объединяя эти результаты, имеем
и вспоминая, что 
из соотношения (42.3) получаем
Возвращаясь к общему случаю, непосредственно получаем
где 
есть матрица, состоящая из последних 
строк А. На практике, когда один из столбцов А является вектором по которому определяется 
мы не вычисляем в действительности элементы 
а автоматически приписываем соответствующее число нулевых элементов и даем оставшемуся элементу значение 
Соответствующие значения в 
будут нуль и 
так что единственный вклад в матрицу ошибок согласно (39.9) есть элемент Поэтому специальный прием для такого столбца покрывается нашим общим анализом.
