Малые собственные значения
44. Заметим, что мы не утверждали, что малые собственные значения будут определяться с малыми относительными ошибками, и простой пример послужит иллюстрацией, почему это не может быть в общем случае. Рассмотрим такую матрицу порядка 
Собственные значения этой матрицы равны 
и если 
велико, то наименьшие собственные значения много меньше единицы. Теперь при вычислении последовательности Штурма для любого значения 
имеем
и множитель 
равен 
Предположим, например, что мы работаем в 
-значной десятичной арифметике с плавающей запятой и 
Тогда для 
получаем значение 101 (0,199979), причем последние 4 цифры 
полностью не учитываются. Следовательно, вычисленная последовательность Штурма одинакова для всех значений 
между 
и мы не можем, вероятно, получить много верных знаков в тех собственных значениях, которые так же малы, как 
Несмотря на это предупреждение, часто получают малые собственные значения с неожиданно малымй относительными ошибками, но для того, чтобы объяснить эту точность, обычно требуется специальный анализ ошибок.
