Приведение к треугольному виду элементарными унитарными преобразованиями

47. Сейчас докажем два результата, сформулированные ранее, о приведении матрицы к канонической форме ортогональными (унитарными) преобразованиями (§§ 23, 25). Сначала покажем, что любую матрицу можно

привести унитарным преобразованием к треугольной форме. Доказательство проведем по индукции.

Пусть это верно для матриц порядка. Пусть А — матрица порядка, а ее собственное значение и собственный вектор, так что

Мы знаем из §§ 44 и 46, что существует унитарная матрица такая, что

где может быть либо произведением матриц плоских вращений, либо одной матрицей отражения. Из (47.1) следует, что

так как к Матрица должна поэтому иметь вид

где матрица порядка Теперь, по предположению, существует унитарная матрица такая, что

где треугольная. Следовательно,

и матрица в правой части (47.6) треугольная. Так — унитарная матрица, результат установлен. Заметим, что если А вещественна и ее собственные значения вещественны, то ее собственные векторы также вещественны, и, следовательно, матрица ортогональная, и все преобразование можно осуществить, используя ортогональные матрицы.

Если А — эрмитова, треугольная матрица диагональна. Действительно, существует унитарная матрица такая, что

где треугольная. Матрица слева эрмитова, поэтому эрмитова, и, следовательно, диагональная.