Коммутирующие матрицы

49. Нормальные матрицы обладают тем свойством, что коммутируют. Из соотношения

имеем

и аналогично

Матрицы поэтому имеют общую полную систему собственных векторов, например ту, что образуют столбцы матрицы

Мы сейчас покажем, что если две матрицы имеют общую полную систему собственных векторов, то Действительно, эта система собственных векторов образует столбцы матрицы Я, и мы имеем

Следовательно,

и

так что потому что диагональные матрицы коммутируют.

50. Обратно, если коммутируют и имеют линейные элементарные делители, то они имеют общую систему собственных векторов. Действительно, предположим, что собственные векторы А и что они образуют матрицу Тогда

где могут быть или не быть различными. Структура доказательства будет ясна, если мы рассмотрим матрицу восьмого порядка, для которой изолированные. Уравнение (50.1) можно записать в виде

Теперь, так как имеем

что

Это показывает, что если собственный вектор А, соответствующий то лежит в подпространстве, натянутом на собственные векторы, соответствующие Следовательно,

Эти уравнения эквивалентны одному матричному уравнению

Так как матрица В имеет линейные элементарные делители, это же самое должно быть верно и для матрицы в правой части уравнения (50.6), и, следовательно, для Поэтому существуют матрицы третьего и второго порядков такие, что

Если мы положим

то

С другой стороны, из (50.2) мы видим, что

Следовательно, имеют общую систему собственных векторов, например векторов, являющихся столбцами