Явные выражения для элементов треугольных матриц

19. Уравнения (18.4) дают возможность получить явные выражения для элементов и через миноры и они нам потребуются в дальнейшем. Если мы объединим первое и третье уравнения, то получим

Приравнивая строки от 1-й до и строку с обеих сторон этого уравнения, имеем

где означает матрицу, полученную из первых строк и строки первых столбцов матрица определяется аналогично. Так как совпадает с в первых строках, то она обязательно треугольная, так что

Следовательно,

поэтому

Заметим, что для (так как в этом случае имеет две одинаковые строки) согласно треугольной структуре Аналогично

и в соответствующей записи

откуда

Здесь совпадает с в первых столбцах, и поэтому она обязательно треугольная. Следовательно,

Объединяя (19.10) и (19.5) с вместо получаем

В частности,

Мы видели раньше в (18.3), что есть элемент (1,1) матрицы и уравнение (19.12) показывает, что он равен

Мы можем получить аналогичные выражения для других элементов квадратной матрицы Для краткости обозначим элемент матрицы через если так что матрица составляется из таких элементов. При получении из лишь прибавляются строки от 1-й до умноженные на некоторые числа, к другим строкам. Следовательно, любой минор, составленный из первых строк, не изменяется. Рассмотрим теперь минор составленный из первых строк и строки и первых столбцов и столбца. Этот минор не изменяет своего значения, и из структуры следует, что он равен Следовательно, имеем

и из

Значение, которое мы получили для есть просто частный случай (19.14); это не удивительно, так как до того шага, когда используется как ведущий элемент, все элементы преобразуются сходным образом. Теперь имеем явное выражение для всех элементов