Элементарные унитарные эрмитовы матрицы (матрицы отражения)

45. Второй класс элементарных унитарных матриц состоит из матриц вида

Эти матрицы унитарны, так как мы имеем

Очевидно, они эрмитовы. Мы будем называть матрицы этого типа элементарными эрмитовыми матрицами Если вещественный вектор, то ортогональна и симметрична. Если у их удовлетворяют соотношению

то

и

и правая часть (45.5) вещественна, так как эрмитова. Следовательно, мы не можем ожидать, что сможем найти такую для которой при произвольных х и у. Если же выполнены условия вещественно, то, как мы сейчас покажем, мы можем найти такую

Если то любой вектор такой, что даст подходящую . С другой стороны, мы видим из (45.3), что каждый подходящий вектор должен лежать на направлении следовательно, мы можем рассматривать в качестве вектора только вектор вида

Очевидно, что множитель не влияет на соответствующую То, что любой такой подходит, можно легко доказать. Действительно,

и

так как в силу нашего предположения вещественно и Следовательно,

46. Вообще говоря, умножением слева на невозможно превратить с вещественным k. Если мы обозначим компоненты через мы можем превратить в у вида

так как тогда очевидно, что вещественно. Для соответствующей мы можем взять

Если то может быть произвольным, и если мы возьмем то соответствующая переведет где к вещественно. Мы часто будем заинтересованы также в таких для которых соответствующий вектор имеет нулевые компоненты на первых позициях, при от О до Умножение слева вектора на такую оставляет первые компонент неизменными.

Если вещественный, то в (46.1) и (46.2) вещественны и, следовательно, вещественна. Заметим, что с помощью унитарной матрицы вида мы можем перевести произвольный вектор в вектор вида с вещественным k.