Числа обусловленности явно заданных полиномов

4. Слабость методов определения собственных значений, основанных на приведении к форме Фробениуса, почти целиком является следствием того, что нули многих полиномов чрезвычайно чувствительны к малым относительным возмущениям коэффициентов. Это верно не только для

полиномов, имеющих кратные или патологически близкие нули, но также для многих полиномов, расположение нулей которых на первый взгляд кажется очень хорошим. Это обсуждалось Уилкинсоном (1959а), а также составило основное содержание главы 2 работы Уилкинсока (1963b). Здесь мы ограничимся кратким суммированием результатов. Рассмотрим нули полинома

Верны следующие простые результаты:

(i) Если простой корень то соответствующий корень полинома удовлетворяет соотношению

(ii) Если корень кратности то существуют соответствующих корней полинома где это величин, удовлетворяющих соотношениям

Итак, в случае простого корня является числом обусловленности для корня Этот результат можно сравнить с общей теорией возмущений для матриц в форме Фробениуса. В гл. 1, § 11 мы видели, что правый собственный вектор соответствующий одному из вариантов формы Фробениуса, имеет вид

Подставляя на место из главы 1, получим соответствующий левый собственный вектор в виде

Очевидно, что мы имеем следовательно, изменение собственного значения соответствующее возмущению матрицы Фробениуса, удовлетворяет соотношению

Если взять за матрицу, соответствующую одному возмущению бак элемента то соотношение (4.6) немедленно даст (4.2).