Несколько типичных расположений корней

5. Соотношение (4.3) показывает, что кратные корни очень чувствительны к малым возмущениям коэффициентов, и это хорошо известно. Гораздо менее широко известно, что чрезвычайная чувствительность часто связана с совершенно безобидными на первый взгляд расположениями корней. Рассмотрим поэтому эту проблему для всех расположений, которые рассматривались в гл. 6, § 23, в связи с методом Крылова. Для иллюстрации будем рассматривать влияние возмущения коэффициента

(i) Линейное расположение Имеем

и порядки величин коэффициентов видны из (5.2):

Тривиальное, но скучное исследование показывает, что наиболее чувствителен корень но отношению к возмущению а. Имеем

что показывает, что пока не будет значительно меньше, чем возмущенный корень будет иметь малое отношение к исходному. Большинство наибольших корней очень чувствительный возмущениям старших коэффициентов.

Таблица 1 (см. скан)

Это иллюстрируется в табл. 1, где показан эффект одного возмущения в коэффициенте при что составляет приблизительно его величины. Десять корней стали комплексными и имеют весьма значительную мнимую часть. С другой стороны, малые корни не чувствительны, что видно из (5.1).

(ii) Линейное расположение Имеем

и сравнение с (5.1) показывает, что множитель ( заменен на ( Порядки величин коэффициентов показаны в (5.5):

Наибольшей чувствительностью обладает по отновшнию к возмущениям Имеем

Поэтому наш полином значительно лучше обусловлен, чем соответствующий полином из Заметим, что если А имеет собственные значения ( то имеет собственные значения ( Следовательно, сравнительно тривиальное изменение исходной матрицы имеет большое влияние на обусловленность соответствующей формы Фробениуса. Это не так при приведении к трехдиагональному виду и к форме Хессенберга, описанным в главе 6; для них изменение на исходной матрицы приводит к изменению на в приведенной матрице, и следовательно.

обусловленность приведенной матрицы не зависит от преобразований такого рода.

(iii) Геометрическое расположение Коэффициенты полинома очень сильно различаются по величине; их порядки указаны в (5.7):

При двух предыдущих расположениях мы рассматривали абсолютные изменения корней. Сейчас более естественно рассматривать относительные возмущения. Имеем

где

Тогда

и оба выражения в квадратных скобках стремятся к бесконечному произведению

Довольно грубая оценка показывает, что значение этого произведения лежит между 1/2 и 1/4, и, следовательно, имеем

При фиксированном значении к максимум достигается при , так что имеем

и из (5.7) можно проверить, что

Следовательно, для относительного возмущения собственного значения, вызванного относительным возмущением любого коэффициента, окончательно имеем

Поэтому корни довольно хорошо обусловлены по отношению к таким возмущениям, которые сравнимы с ошибками, сделанными при вычислении значений полинома.

Естественно спросить, будем ли мы обычно получать коэффициенты характеристического уравнения с малой относительной ошибкой, если собственные значения широко меняются по величине. К сожалению, ответом, вообще говоря, будет «нет». В качестве очень простого примера рассмотрим матрицу

собственные значения которой с пятью точными значащими цифрами равны: Мы можем привести ее к форме Фробениуса при помощи преобразования подобия где равна

но, несмотря на использование вычислений с плавающей запятой, вычисленная преобразованная матрица равна

При вычислении элемента в позиции происходит значительное взаимное уничтожение; вычисленный элемент, дающий свободный член в характеристическом уравнении, имеет только одну правильную значащую цифру. Вообще, если имеются большие различия в величинах собственных значений, элементы в форме Фробениуса, как правило, получаются с абсолютными ошибками, порядок которых почти одинаков для всех элементов, и это весьма фатально для относительной точности малых собственных значений. Например, очевидно, что абсолютная ошибка порядка в свободном члене полинома, соответствующего расположению (iii), меняет произведение его корней от до т. е. приблизительно в 1053 раз.

Для специальных типов матриц такое ухудшение не имеет места. Простым примером является матрица

Несмотря на то, что одно ее собственное значение порядка единицы, а другое порядка при приведении к форме Фробениуса не происходит взаимного уничтожения.

(iv) Расположение по окружности Соответствующий полином равен и мы имеем

Нули этого полинома очень хорошо обусловлены. (Так как почти все коэффициенты равны нулю, мы в этом случае не можем рассматривать относительное возмущение.)